3.1.3 Определители, миноры и алгебраические дополнения

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Определитель квадратной матрицы Аразмерностью(n  n)и обозначаемыйАравен алгебраической сумме всех возможных произведенийn элементов. Каждое произведение содержит только один элемент из каждой строки и столбца и имеет знак + или – в зависимости от того, четное или нечетное число инверсий (то есть расположений большего числа перед меньшим) вторых индексов содержится в произведении, если расположить элементы в порядке возрастания первых индексов.

Нетрудно установить следующие свойства определителей.

1. Определитель равен нулю, если равны нулю все элементы какой-либо строки (столбца) или если равны или пропорциональны соответствующие элементы произвольных двух строк (столбцов).

2. Величина определителя остается постоянной по модулю при перестановке строк (столбцов).

3. Знак определителя меняется на противоположный при перемене местами двух любых строк (столбцов).

4. Значение определителя умножается на постоянную k, если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить наk.

5. Значение определителя не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить умноженные на kсоответствующие элементы другой строки (столбца).

Если в определителе Авычеркнутьi–ю строку иj столбец, то оставшиеся n-1 строк и столбцов образуют определительM_ij, называемыйминоромэлементаa_ij .Миноры, у которых диагональные элементы являются диагональными элементамиА, называютсяглавными.

Алгебраическое дополнение элемента a_ij – это минор элементаa_ij, взятый со знаком(-1)^i+j, то есть алгебраическое дополнениеC_ij = (-1)^i+j  M_ij.

Используя алгебраические дополнения, можно по формуле Лапласа вычислить определитель матрицы А:

, j = {1,2,…n}– разложение по элементам столбца,

(3.2.)

, i ={1,…n} - разложение по элементам строки.

Если заменить элементы i-ой строки (столбца) на соответствующие элементыk-ой строки (столбца), то согласно свойству первому определитель обратится в нуль. Следовательно, используя разложения (3.2), получим

(3.3)

Объединяя (3.2) и (3.3),получим

(3.4)

где _ik – символ Кронекера, равный единице при одинаковых индексах и нулю при различных индексах.

Определитель можно вычислить и воспользовавшись методом опорного элемента, который сводит процесс нахождения определителя к вычислению определителей второго порядка. Метод заключается в следующем.

В качестве опорного выбирается произвольный элемент а_ij. Берется произвольный элемента_ik, расположенный в той же строке, что иа_ij, и элемента_qj, расположенный в том же столбце, что иа_ij.

Из элементов а_qk,а_ik,а_qjиа_ij образуют определитель второго порядка, причем порядок элементов сохраняется. Составляют все возможные определители второго порядка, содержащие в качестве одного из элементов опорный. Используя в качестве элементов определители второго порядка, а в качестве множителя, представляют исходный определитель как определитель(n-1)-го порядка. Повторяя эту процедуру, можно вычислить определитель высокого порядка, последовательно уменьшая его порядок до единицы.

Необходимо отметить, что метод опорного элемента эффективнее в смысле числа перемножений, чем разложение определителя по формуле Лапласа, уже при n 4.

Как следствие соотношений (3.2) (разложение Лапласа), производная от определителя по какому-либо из его элементов равна алгебраическому дополнению этого элемента

(3.5)