Из выражения (2.71) с учетом (2.73) имеем

(2.75)

Ряд в правой части формулы (2.75) абсолютно сходится к функции F₂(z ^-1) при условии z ^-1 > _2, откуда

(2.76)

С учетом этого получаем окончательно формулу (2.69)

Условия (2.72), (2.74) и (2.76) в совокупности образуют условие (2.70).

2.5 Разностные уравнения и z - преобразование

Решения разностных уравнений легко найти, используя z - преобразование.

Возьмем разностное уравнение в общем виде (2.13) при Т=1:

a₀y(k+n) + a₁y(k+n-1)+…+ a_ny(k) = b₀r(k+m) + b₁r(k+m-1) +…+ b_nr(k).

Применим z - преобразование почленно к правой и левой частям этого уравнения. Учитывая теорему о сдвиге во временной области, получим

(a₀zⁿ + a₁z^n-1 +…+ a_n)Y(z)-zⁿ a₀y(0)-z^n-1[a₀y(1) + a₁y(0)] - z^n-2[a₀y(2) + a₁y(1)+

+ a₂y(0)] -…- z[a₀y(n-1) + a₁y(n-2) +…+ a_n-1y(0)] =

(b₀z^m+ b₁z^m-1 +…+ b_n)R(z)-z^m b₀r(0)-z^m-1[b₀r(1) - b₁r(0)] -…- z[b₀r(m-1) +

+…+ b_m-1r(0)].

(2.77)

Разрешив это уравнение относительно Y(z), можно далее на основе методов обратного преобразования получить y(k). Как видно, в уравнении (2.77) присутствуют члены от y(0) до y(n-1). Эти члены представляют n граничных (начальных) условий, необходимых для определения произвольных постоянных в классическом решении.

Соотношение (2.77) значительно упрощается, если разностное уравнение (2.13) описывает предварительно невозбужденную физически реализуемую систему. Термин «предварительно невозбужденная система» означает, что запасенная системой к моменту времени t=0 энергия равна нулю, или, что y(k)=r(k)  0 при k < 0.

Для физически реализуемой системы реакция на выходе не может появиться ранее воздействия на ее входе, то есть в разложении по степеням

z^-1 отсутствуют члены с положительными степенями z, откуда следует, что в уравнении (2.13) должно выполняться условие m  n. Подставим в уравнение (2.13) k=-n, -(n-1),…-2,-1. С учетом равенства нулю y(k) и r(k) при k <0, получим

a₀y(0) = b₀r(m-n)

a₀y(1) + a₁y(0) = b₀r(m-n+1) + b₁r(m-n) (2.78)

……………………………………………………………………………..

a₀y(n-1) + a₁y(n-2)+…+ a_n-1y(0) = b₀r(m-1) + b₁r(m-2)+…+ b_m-1r(0)

В правой части равенств (2.78) все слагаемые с отрицательным аргументом равны нулю.

Сравнивая выражения (2.78) и (2.77) нетрудно видеть что

(a₀zⁿ +a₁z^n-1 +…+ a_n Y(z) = (b₀z^m+ b₁z^m-1 +…+ b_n)R(z),

откуда

(2.79)

Из формулы (2.79) видно, что существует непосредственная связь между преобразованиями от входного и выходного сигналов предварительно невозбужденной системы. Эта связь устанавливается импульсной передаточной функцией

(2.80)

которую можно определить как отношение z- преобразований выхода и входа предварительно невозбужденной системы. Сравнение выражений (2.80) и (2.38), (2.39) показывает, что импульсную передаточную функцию можно записать непосредственно по разностному уравнению.

3 Матрицы и линейные пространства

Полное описание достаточно сложной системы требует большого количества информации. Эта информация может быть представлена системами дифференциальных либо разностных уравнений. Удобно в этом случае пользоваться матричными формами представления такой информации. Анализ систем тогда сводится, как правило, к анализу свойств матриц. Мощным средством аппарат теории матриц является и при синтезе систем. Поэтому полезно еще раз вспомнить те разделы линейной алгебры, которые непосредственно относятся к изучению теории систем.