3.1.4 Присоединенная и обратная матрицы

Если А-квадратная матрица, аC_ij- алгебраическое дополнениеа_ij,топрисоединеннойдляАназывается матрица, образованная из алгебраических дополненийC_ji, то есть

Adj A = [C_ji]. (3.6)

Таким образом, присоединенная матрица (Adj – по первым буквам английского словаadjust– приспосабливать, прилаживать, присоединять) является транспонированной для матрицы, образованной заменой элементова_ij их алгебраическими дополнениями.

Из уравнения (3.4) следует, что

[а_ij] [C_ij]^T= A E.

Учитывая определение (3.6) и умножив правую и левую часть последнего выражения на 1/A ( при условииA0), получим

(3.7)

Из выражения (3.7) естественным образом определяется обратная матрица А^-1

(3.8)

Таким образом,

АА^-1= Е. (3.9)

Нетрудно показать, что выполняется и соотношение

А^-1А =Е.(3.10)

Действительно, возьмем тождество А^-1=А^-1 и умножив правую и левую его часть наЕсправа, при этомЕв левой части тождества распишем согласно соотношению (3.9):

A^-1(AA^-1)=A^-1E.

Используя свойство единичной матрицы и ассоциативность умножения, получим

(A^-1A)A^-1=A^-1,

откуда с неизбежностью следует (3.10).

Следовательно, матрица и обратная ей коммутативны. Если A=0, то матрица A называетсяособенной. ЕслиA0, то матрица называетсянеособенной. Таким образом, обратные матрицы существуют только для неособенных матриц.

Из выражения (3.8) следует, что обратная матрица для каждой неособенной матрицы является единственной и, следовательно, множество неособенных квадратных матриц по операции умножения образует некоммутативную группу.

Произведение обратных матриц подчиняется тем же правилам перестановки, что и произведение транспонированных матриц, то есть

В^-1А^-1=(АВ)^-1.

Производная от обратной матрицы вычисляется по формуле

(3.11)

которую нетрудно получить, если рассмотреть соотношение

Некоторые специальные обратные матрицы носят отдельные названия.

Инволютивная матрица – это такая матрица, которая совпадает со своей обратной, то естьАА=Е.

Ортогональнаяматрица – это матрица, для которой выполняется соотношениеА^-1=А^Т.

Унитарнаяматрица удовлетворяет соотношениюА = ((А*)^Т)^-1.

Псевдообратнаяматрицаудовлетворяет соотношениям

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Если не выполняются соотношения (3.14),(3.15) (одно из них или оба), то получаем обобщенную обратнуюматрицу.

Разумеется, что в случае невырожденной матрицы Апсевдообратная и обобщенная матрицы совпадают с обычной обратной матрицей.

3.2 Векторы и векторные пространства

3.2.1 Векторы и их свойства

Под вектором будем понимать матрицу размерностью (n1) или вектор– столбец.

Зададим основные операции над векторами.

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векторов x иy определяется формулой

<x,y> = (x*)^T  y = x₁*y₁+x₂*y₂+…+x_n*y_n = y^Tx*. (3.16)

В случае действительных x иy выражение (3.16) приобретает более знакомую форму

<x,y> = =x^Ty = y^Tx = <y,x>.

Ясно, что понятие скалярного произведения существует только для векторов одинаковой размерности.

Если вектор – строку (y*)^T (1m)помножим слева на вектор – столбецx (n 1), то получимвнешнеепроизведение, представляющее матрицу(n m)

.

Сумма и разность векторов, а также умножение вектора на скаляр следуют из соответствующих операций над матрицами.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Нормой вектора называют квадратный корень из скалярного произведенияx иy, то есть

(3.17)

Можно показать, что из соотношения (3.17) вытекает два важных неравенства

(неравенство треугольника)

и (неравенство Шварца).

Угол между двумя векторами определяется формулой

Вектор называютнормированным, если.

Два вектора будут ортонормированы, если они ортогональны и нормированы.

Векторы x_i,i{1,2,…m}с компонентамиx_1i, x_2i,… x_ni будут линейно независимы, если не существует таких постоянныхk_i … k_m (хоть одна изk_i не должна равняться нулю), что

k₁x₁ + k₂x₂ +…+ k_mx_m= 0. (3.18)

Основываясь на понятии линейной независимости векторов, дадим еще пару определений.

Вырожденностьилидефектматрицы определяется так. Если строки (столбцы) особенной матрицы линейно связаныоднимсоотношением, то вырожденность матрицыпростая(дефект равен единице). Если таких соотношенийq, то матрица имеет вырождение кратностиq(или дефект равенq).

Рангом r матрицыА является наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицыА. Если размерность матрицы(n n), то r = n-q.

Существует правило вырожденности Сильвестра, которое гласит, что дефект произведения двух матриц не меньше дефекта каждой из них и не выше суммы дефектов матриц.

Условие линейной независимости векторов можно сформулировать на основе ранга матрицы, образованной из элементов m векторов:

(3.19)

Если ранг матрицы А, образованной этимиmвекторами(m  n), меньше, чемm, то естьr < m, то существуетrлинейно независимых векторов. Остальныеm - rвекторов выражаются в виде линейной комбинации этихrвекторов. Таким образом, необходимым и достаточным условием линейной независимости этихmвекторов является равенство ранга матрицыАвеличинеm.

Определение ранга матрицы не всегда удобно, поэтому чаще линейную независимость определяют, пользуясь определителем Грама. Определитель Грама строится в предположении, что выполняется соотношение (3.18). Умножим уравнение (3.18) скалярно наx_i, i{1,2,…m}и получим таким образом систему уравнений:

k₁<x₁,x₁> + k₂<x₁,x₂> +…+ k_m<x₁,x_m> = 0

k₁<x₂,x₁> + k₂<x₂,x₂> +…+ k_m<x₂,x_m> = 0

….

k₁<x_m,x₁> + …+ k_m<x_m,x_m> = 0.

Эта система однородных уравнений имеет нетривиальное решение для k_i (то есть выполняется условие (3.18) и векторыx_i являются линейно зависимыми) только в том случае, если определитель матрицы с элементами<x_i,x_j>равен нулю. Этот определитель называется определителем Грама и равен

или, с учетом обозначения (3.19),

G=A^T A, (3.20)

Следовательно, система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Грама (3.20) для такой системы отличен от нуля.