В результате получим
В правой части последнего выражения поменяем местами операцию суммирования и интегрирования и вместо переменной интегрирования s введем переменную s+jns.
Вспоминая формулу (2.48) и учитывая ej2nk = 1, имеем
Теперь от дискретного преобразования Лапласа F*(s) перейдем к z - преобразованию заменой переменной (2.49).
Тогда
линия интегрирования в соответствии
с преобразованием
z
= esT
= ecT
ejT,
отобразится
в окружность радиуса e
cT
, причем
область, лежащая слева от линии
интегрирования для переменной s,
отобразится внутрь окружности для
переменной z
, и окончательно
получим
(2.57)
где Г - окружность радиуса e cT . Так как F(s) не имеет особых точек на линии интегрирования и справа от нее, то все особые точки поинтегрального выражения (2.57) должны лежать внутри окружности Г.
2.4.3 Свойства z - преобразования
Свойства z -преобразования аналогичны соответствующим свойствам преобразования Лапласа и сформулированы в виде теорем. Доказательство наиболее простых теорем предоставлено читателям. Применение этих теорем часто облегчает вычисление прямого и обратногоz- преобразования.
Теорема существования. Для существованияF(z)необходимо, чтобыf(t)была определена при всехt =kT (k =0, 1,…).
Теорема единственности. Две функции времени имеют одно и тожеz- преобразование, если и только если они совпадают при всехt = kT (k =0, 1, 2,…).
Теорема линейности
(2.58)
(2.59)
где с – константа.
Теорема о сдвиге во временной области
(2.60)
(2.61)
Докажем формулу (2.60). Имеем по определению
Введем новый индекс суммирования m = k-n.Тогда
При доказательстве учтено, что f(t) 0приt<0, и вездеz-преобразование и преобразование Лапласа одностороннее без особого о том напоминания.
Докажем формулу (2.61):
В сумме правой части последнего выражения не хватает nслагаемых для того, чтобы эта сумма равняласьz– изображению, поэтому добавим и вычтем их. В результате получим формулу (2.61)
Теорема об умножении оригинала на экспоненту
(2.62)
Теорема о начальном значении
(2.63)
при условии, что предел существует.
Действительно, по определению
Возьмем предел от левой части и почленно от правой при z:
Теорема о конечном значении
(2.64)
при условии, что (1-z-1)F(z) является аналитической на окружности единичного радиуса z=1 и вне круга, описываемого этой окружностью.
Для доказательства рассмотрим два ряда с конечным числом членов
(2.65)
и
(2.66)
Вычтем из ряда (2.65) ряд (2.66) и перейдем к пределу при z1:
В последнем выражении перейдем к пределу при n
Меняя порядок перехода к пределам и учитывая, что
получим искомую формулу (2.63)
Требование отсутствия полюсов функции (1-z-1)F(z)на единичной окружности и вне ее гарантирует сходимость пределов в формуле (2.64).
Теорема о дифференцировании по параметру
(2.67)
Теорема о свертке во временной области
(2.68)
Распишем правую часть
Если n > k, то f2((k-n)T) 0, поэтому можно без ущерба заменить верхний индекс во внутренней сумме на бесконечность. После этого введем новый индекс суммирования m = k-n :
Функция f2(mT) 0при отрицательныхmи можно нижний индекс во внешней сумме заменить на нуль. После этого суммы легко разделяются и окончательно имеем формулу (2.68)
Теорема о свертке в области изображений.
(2.69)
где Г – окружность, лежащая в кольце
(2.70)
где 1 и 2 – радиусы сходимости соответственно F1() и F2().
Распишем левую часть формулы (2.69) в виде суммы
(2.71)
Для абсолютной сходимости этого ряда необходимо, чтобы z был бы больше, чем радиус сходимости 1, 2, то есть необходимо условие
(2.72)
В сумме (2.71) f1(kT) запишем как обратное z - преобразование от F1(z) cогласно формуле (2.57)
(2.73)
где Г – окружность, включающая все точки подинтегрального выражения, то есть выполнено условие
> 1. (2.74)