2.4. Задача о колебаниях электрической цепи

Вцепи электродвижущая сила Е включается в контур при, состоящий из последовательного соединенной катушки, индуктивности, резистора. Требуется найти величину тока , как функцию времени, если в момент времени заряд конденсатора.

Физический смысл. Энергия электрического поля заряженного конденсатора превращается в энергию магнитного поля ферромагнетика, которая определяется магнитным потоком , охватывающим витки катушки индуктивности.

По закону Киргофа ЭДС в цепи равна сумме падений напряжений на индуктивном , активном сопротивлениии емкостит.е.

Эти падения связаны с величиной тока I соотношениями

отсюда

Дифференцируя по t получаем

.

Приведем к каноническому виду, введя обозначения :

Если Е=const , получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Предположим, что Е=const и (отсутствует сопротивление).

Характеристическое уравнение

тогда решение этого уравнения есть

Используя формулы Эйлера, общее решение можно записать в виде

.

Если обозначить ,то

А -амплитуда,  - частота колебаний, период T=2/..

В двумерном варианте :

Движение системы колебательно. Простое состояние равновесия называется центром. Отметим, что траектория не входит и не достигает этого состояния равновесия. Система устойчива, но не асимптотически.

При

-не очень большая величина, корни комплексно сопряженные и общее решение

,

где .

В этом случае свободные колебания представляют собой затухающие колебания с амплитудой , монотонно убивающей с ростом, и стремящимся к 0. Состояние

равновесия известно под названием устойчивого фокуса и является асимптотически устойчивым.

Случай . Корни характеристического уравнения действительны различны и отрицательны.

Движение имеет непериодический характер при. Траектория входит в изолированную точку равновесия приэто точка равновесия является асимптотически устойчивой и называется устойчивым узлом.

Для в зависимости от величинырассматриваем два случая

а) неустойчивый узел

б) неустойчивый фокус

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения рассмотрим два случая.

1. -частота свободных (собственных) колебаний системы не совпадает с частотой возмущающей силы, а также-не является корнем характеристического уравнения.

Частное решение можно найти в виде простой гармоники

. При этом

Подставляя в исходное уравнение, получим

Полученное выражение может быть тождеством, если положить . Тогда частное решение будет иметь вид

Это частное решение определяет вынужденное колебание для случая несовпадения частот, при этом амплитуда постоянна, но если близки по значению, то может быть велика даже при малой амплитуде возмущающей силы.

Общее решение исходного уравнения состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения:

В результате имеем сложное колебательное движение, как результат собственных колебаний и колебаний, обусловленных действиями возмущающей силы.

2. Пусть - совпадает, т.е. частота собственных свободных колебаний системы совпадает с частотой внешней силы. Так как числоявляется корнем характеристического уравнения, то частное решение исходного уравнения будем искать в виде.

Определяем и, подставляя их в исходное уравнение, находим коэффициенты

Общее решение уравнения имеет вид: .

Соотношение состоит из двух слагаемых, описывающих периодические колебания с частотой (свободные колебания) и колебание с той же частотойи возрастающей с ростомамплитудой:.

Явление неограниченного возрастания амплитуды колебаний под влиянием даже малых периодически возмущающих воздействий называется резонансом.