1.2. Теоремы существования и единственности

Теорема существования и единственности решения для одного уравнения. Рассмотрим теорему, устанавливающую существование и единственность решения задачи Коши для уравнения

. (1)

Будем говорить, что функция f (t, х) удовлетворяет условию Липшица по х в замкнутой области G, если для всякой пары точек (t, x₁), (t, x₂) G справедливо неравенство

f (t, x₁) - f(t,x₂)  L  x₁- x₂  (2)

где L=соnst —постоянная Липшица.

Заметим, что условие Липшица является более сильным, чем условие непрерывности функции f (t, х) по х. Из непрерывности функции f (t, х) по х не следует выполнение условия Липшица, однако, как показывает следующая теорема, если функция f (t, х) удовлетворяет условию Липшица по х, то она непрерывна относи­тельно х.

Теорема 1. Если функция f(t, х) непрерывна по t в области G и удовлетворяет в этой области условию Липшица по переменной х, то она непрерывна по совокупности переменных t, х.

Перейдем к рассмотрению теоремы о существовании и единствен­ности решения начальной задачи Коши.

Теорема 2. Пусть функция f(t, х) задана на замкнутой области G, непрерывна в ней по t и удовлетворяет условию Липшица по х. Тогда можно указать такой интервал  на оси t, содержащий точку t₀, на котором существует и притом единственное решение х=(t) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

 (t₀)=х₀. (3)

Требование выполнения условия Липшица не обязательно для существования решения уравнения (1). Существуют другие методы доказательства существования решения при предположении лишь непрерывности функции f (t, х) . Но для единственности решения требуется выполнение условий Липшица.

Пример. Покажем, что правая часть уравнения dх/dt = 2, не удовлетворяет условию Липшица в интервале (0,  ).

Действительно, пусть f(t,х)=2, тогда, если условие Лип­шица удовлетворяется, то должно выполняться неравенство

f (t, x₁)- f(t,x₂)  L  x₁- x₂ 

т. е. частное f (t, x₁)- f(t,x₂) /(  x₁- x₂ )  L

и частная производная должна быть ограниченной.

В рассматриваемом примере прих —> 0. Следовательно, условие Липшица не удовлетворяется, и поэтому уравнение не имеет единственного решения, несмотря на непрерывность его правой части.

Если в области G функция f(t, х) имеет ограниченную част­ную производную по х, т. е.  f / x  N, где N — некоторое постоян­ное число, то во всей этой области выполняется условие Липшица. В самом деле, оценим модуль f (t, x₁)- f(t,x₂)для любой пары точек (t, x₁), (t,x₂) . По формуле Лагранжа имеем:

f (t, x₁)- f(t,x₂) =f ^`_x(t, x)( x₁ - x₂)   N  x₁- x₂ ,

здесь x₁  x  x_2. Таким образом, условие Липшица выполняется и постоянная Липшица L=N.

Но класс функций, удовлетворяющих условию Липшица, шире, чем класс функций, имеющих ограниченные частные производные по х. Например, в уравнении имеем: f(t,x)=|x| . При х=0 частная производная  f / x не существует. Но модуль

f (t, x₁)- f(t,x₂) = x₁ - x₂   x₁- x₂ 

т. е. здесь условие Липшица выполняется и постоянная L=1.

Теорема существования и единственности решения для нор­мальной системы уравнений.

Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений

(9)

или в векторной форме

(10)

Общим решением системы (9) в области G называется совокуп­ность n функций x_i =  _i (t, c₁, . . , с_n) (i =1, 2,..., n), из которой путем выбора произвольных постоянных c₁, . . , с_n , можно получить любое решение, принадлежащее области G.

Будем говорить, что функция f(t, x) удовлетворяет усло­вию Липшица в области G по переменным х₁,..., x_n , если сущест­вует такое постоянное число L>0, что для любой пары точек и принадлежащих G, выполняется нера­венство

(11)

Приведем без доказательства теорему существо­вания и единственности решения задачи Коши для нормальной системы уравнений.

Теорема 3. Пусть задана нормальная система уравнений (9), причем функции f_i (t, х₁,..., x_n) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по х₁,..., x_n в некоторой области G. Тогда суще­ствует и притом единственное решение x_i =  _i (t) (i =1, 2,..., n), системы (9), удовлетворяющее начальным условиям

_i (t₀)=х_i0 (i =1, 2,..., n), (12)

определенное на некотором отрезке , содержащем точку t₀.

Сделаем к теореме два замечания:

1. Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке , содержащем точку t₀ . Это решение может быть продолжено за пределы отрезка  вплоть до границы области G.

2. Если функция f_i (t, х₁,..., x_n) имеет ограниченные частные производные по х, в выпуклой области G, то эта функция удовлетворяет условию Липшица.

(Область G называется выпуклой, если вместе с любой парой точек в этой области ей принадлежит отрезок, соединяющий эти точки.)