3. Планирование выпуска на уровне отраслей. Линейные модели экономики. Модель Леонтьева "Затраты - выпуск".

Модели экономики, представленные в разукрупненном до уровня отраслей (видов экономической деятельности) виде, позволяют изучить перетоки товаров между отраслями экономики, обеспечивающие ее равновесное функционирование. С практической точки зрения такие исследования нужны для планирования производства как в статике, так и в динамике. При этом особое внимание необходимо уделять такому режиму производственных процессов, который соответствует неизменному росту экономических показателей с постоянными максимально возможными темпами.

Часто при экономическом планировании на уровне регионов или страны в целом возникает необходимость определения объема выпуска товаров, обеспечивающего заданный спрос населения и производственные нужды на эти товары при известной технологии. В предположении о линейности технологии (т.е. о прямой пропорциональности объема выпуска объемам затрат ресурсов) математической формализацией этой задачи является знаменитая модель “затраты - выпуск”, полученная в 1930 г. американским экономистом В. Леонтьевым. Модель Леонтьева является частным случаем модели Вальраса. С точки зрения этой общей модели равновесия классическая (исходная) модель Леонтьева имеет следующие особенности:

• рассматривается экономика, состоящая из “чистых” отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;

• взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);

• вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;

• вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;

• равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

В зависимости от цели исследования экономику можно изучать в различных разрезах - от уровня национальной экономики до уровня отдельных фирм и потребителей. Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде. Предполагается, что каждая отрасль является “чистой”, т.е. выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Их не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации.

Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.

Обозначим через n количество всех отраслей. Так как отрасли являются чистыми, индекс отрасли можно отождествить как с видом товара, так и с технологическим процессом.

Предположим, что на данном плановом периоде времени (например, на предстоящий год) известен конечный спрос на все n товаров. Пусть технология производства предписывает для выпуска одной единицы i-го товара количество товара вида 1, - количество товара вида 2 и т.д., - количество товара вида n (i=1,…,n). Обозначим через объем производства отрасли i на всем плановом периоде (валовой выпуск). Тогда величина показывает объем продукции отрасли j , необходимый для функционирования отрасли i с планом выпуска , а величина

- суммарное потребление продукции отрасли j в производственном секторе.

Наглядную картину межотраслевых связей при плане выпуска и плане конечного потребления показывает схема межотраслевого баланса (табл. 4).

Таблица 4

Схема межотраслевого баланса

	Отрасли как потребители продуктов				Потребление		Валовой выпуск
Отрасли как поставщики продуктов	1	2	…	п	Производственное	Конечное
1			…
2			…
…	…	…	…	…	…	…	…
п			…

Балансовый характер этой схемы заключается в том, что элементы последних трех столбцов в каждой строке должны удовлетворять равенству:

, j=1,…,n (1)

Левую часть равенства (1) можно трактовать как итоговый (производственный плюс конечный) спрос на продукцию отрасли j (на j-ый товар), а правую - как предложение j-го товара. Поэтому, во-первых, уравнения (1) отражают общее равновесие (т.е. равновесие по всем видам товаров) в экономике. Во-вторых, система (1) показывает самодостаточность производства - для выпуска любого товара достаточно иметь воспроизведенную продукцию рассматриваемых отраслей. В-третьих, из уравнений (1) следует, что весь валовой выпуск полностью распределяется между потребителями. Последние два обстоятельства говорят о замкнутости экономики - нет поступления извне, и продукция не экспортируется.

Таким образом, схема межотраслевого баланса задает те условия, когда экономика будет находиться в равновесном состоянии. А именно, при известном спросе и известной постоянной технологии вектор валового выпуска должен вычисляться как решение системы n линейных уравнений (1).

Наиболее общая, чем изображенная в табл. 4, схема межотраслевого баланса, которая используется на практике, содержит дополнительные столбики учета невоспроизводимых факторов (таких, как каменный уголь), импортируемых ресурсов, а также резервов на начало планируемого периода. Эти столбцы можно отнести к дополнительным (фиктивным) отраслям n+1,...,n+k, для которых , при i=n+1,...,n+k. В модели (1) можно учитывать и экспорт товаров, и инвестирование, фиксируя их объемы в столбце конечного потребления по видам товаров, т.е. рассматривая вместо величины .

В целом межотраслевой баланс содержит два раздела: формирование производственных ресурсов и использование результатов производства на производственное и конечное потребление. В этом случае говорят о межотраслевом балансе в натуральном выражении.

Более сложную структуру имеет схема межотраслевого баланса в денежном выражении, которая состоит из четырех разделов: промежуточного продукта, конечного продукта, амортизации, вновь созданной стоимости и ее перераспределения.

Подставляя технологические коэффициенты а_ij в (1), для каждой отрасли получаем балансовое соотношение

, j=1,…,n..

С помощью технологической матрицы

эту систему уравнений можно записать в векторной форме:

. (2)

Уравнение (2), где A - постоянная технологическая матрица,  - известный вектор спроса,  - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение Ax как затраты, эту систему называют моделью "Затраты - выпуск".

Модель Леонтьева призвана ответить на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы

относительно переменных . Условия существования и единственности решения такой системы известны из курса алгебры. Однако здесь речь идет о решении этой системы, имеющем подходящий экономический смысл. А именно, все элементы модели Леонтьева по их определению являются неотрицательными величинами, в том числе переменные . Поэтому мы должны говорить о существовании неотрицательных решений системы (2).

Модель Леонтьева называется продуктивной, если система (2) имеет неотрицательное решение .

Можно утверждать, что для продуктивной модели Леонтьева вектор валового выпуска x представляется матричным рядом

Здесь слагаемые Ac, A²c, ... интерпретируются как промежуточные затраты, а именно, Ac - затраты, необходимые для производства (выпуска) c, A³=А(А²), А4=А(А³) - затраты, необходимые для производства (выпуска) Ac и т.д. Содержательный смысл этой последовательности таков: для того чтобы получить чистый выпуск c , нужно затратить вектор продуктов Ac; затем, чтобы произвести в системе этот набор продуктов Ac , придется дополнительно затратить A²c и т.д. Сумма вектора чистого выпуска c (вектора конечного потребления) и всех векторов промежуточных затрат (производственного потребления) и составляет вектор валового выпуска. Из предыдущего равенства следует, что решение уравнения (2) можно получить итерационно по формуле:

, t=0,1,2,…

с начальным условием х⁰=с.

Важным следствием модели Леонтьева являются результаты, получаемые с применением двойственной к ней модели

(3)

где А^Т - транспонированная матрица A . Уравнению (3) можно придать смысловую стоимостную окраску. Действительно, можно интерпретировать как вектор цен продуктов отраслей, - как вектор добавленной стоимости (т.е. прибавка к стоимости товара после ее производства) на единицу выпуска, А^Тр - как вектор суммы издержек на единицу выпуска. Тогда разность р-А^Тр есть вектор чистого дохода от единицы выпуска. Этот чистый доход и приравнивается добавленной стоимости .

Существование решения двойственного уравнения (3) относительно вектора цен связано опять с неотрицательностью всех его элементов.

Если уравнение (3) имеет неотрицательное решение , то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной. Это свойство является двойственным к понятию продуктивности модели Леонтьева в том смысле, что выполнение одного из свойств влечет справедливость другого.

Классическая (исходная) модель Леонтьева описывает производство по схеме “затраты - выпуск”. Значимость модели Леонтьева заключается еще и в том, что она применяется для описания ряда других экономических задач, а также служит отправной точкой для различных обобщений. В качестве подтверждения этого приведем интерпретацию уравнения (1) как модели международной торговли и модификацию модели Леонтьева как оптимизационной задачи.

При трактовке уравнения (1) как модели торговли n означает число торгующих между собой стран, х_i - национальный доход i-ой страны, c_i - национальные расходы i-ой страны, a_ij - объем импорта из страны i в страну j, приходящийся на одну единицу национального дохода страны j. Элементу a_ii придается смысл коэффициента внутреннего потребления своей продукции i-ой страной.

И в такой интерпретации, очевидно, все элементы модели Леонтьева должны быть неотрицательными и, более того, национальный доход и национальные затраты всегда являются положительными величинами. В данном случае модель (1) дает ответ на вопрос: каковы должны быть объемы национальных доходов стран, обеспечивающие стабильный уровень национальных расходов и установившийся режим обмена товарами между странами?

Выше было замечено, что одним из существенных упрощений модели Леонтьева является отсутствие в ней первичных (невозобновляемых) факторов производства. Модель будет более близкой к реальности, если наряду с воспроизводимыми (вторичными) ресурсами, описываемыми в (1) произведением Ax, будут учтены и первичные факторы. Оказывается, такое обобщение превращает модель Леонтьева в оптимизационную задачу.

В кратком изложении процесс построения и анализа баланса производства и распределения продуктов и услуг приведен ниже.

Вся экономика рассматривается как единое целое, состоящее из отдельных элементов (отраслей или групп отраслей). Каждая отрасль представляется как производитель товара для рынка и, во-вторых, как потребитель ресурсов.

По вертикали откладываются все затраты той продукции, которые необходимы для данной отрасли (напр., машиностроение). Если их суммировать, то мы имеем сумму продуктов, используемых для данной отрасли. По горизонтали показываем как и где используется продукция данной отрасли. Если эта продукция используется не вся, то в конце таблицы даются конечные потребители. Вся горизонтальная колонка должна быть заполнена. Таким образом, все колонки должны быть сбалансированы, поэтому эту таблицу называют межотраслевым балансом.

В модели межотраслевого баланса используются следующие показатели.

Валовой выпуск Х.

Промежуточное потребление - характеризуется матрицей коэффициентов прямых затрат .

Конечный продукт Y.

Произведение коэффициентов прямых затрат на валовой выпуск дает межотраслевые потоки. Модель в матричной форме .

Уравнение строки .

Уравнение столбца ,

где S_j = оплата труда + чистые налоги на производство + валовая прибыль \ смешанный доход.

- коэффициенты прямых затрат показывают сколько продуктов -й отрасли требуется для производства одной единицы продукции -й отрасли.

Свойства коэффициента прямых затрат:

1. ;

2. .

эта система всегда имеет решение благодаря свойствам коэффициентов прямых затрат.

, где - матрица коэффициентов полных затрат.

.

Коэффициент полных затрат показывает потребность в валовом выпуске -той отрасли для производства одной единицы конечной продукции -й отрасли.

Модель не позволяет создавать необоснованные планы, это видно на примере динамической модели, которую можно использовать для прогнозированного развития экономики. Динамическая модель получается из статической путем детализации конечной продукции .

где - конечное потребление или доля конечной продукции идущей на потребление.

- доля конечной продукции идущей на накопление.

- прирост продукции -той отрасли обусловленный накоплением.

- коэффициент капитальных вложений, показывающий сколько продукции -й отрасли должно быть вложено в для увеличения ее производственной мощности на единицу.

Математическая модель строки:

.

Матричная форма: .