4. Пересечение прямой линией плоскости. Пересечение прямой с плоскостью

Прямая линия в пространстве может принадлежать плоскости, а также быть параллельной плоскости или пересекать ее. При пересечении прямой линии с плоскостью следует выделить частный случай, когда прямая перпендикулярна плоскости.

П

2^/

рямая линия, параллельная плоскости. Прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой принадлежащей этой плоскости. Поэтому, чтобы провести через заданную точку прямую, параллельную плоскости, надо сначала в плоскости провести произвольную прямую, а затем провести через точку искомую прямую, параллельную прямой, принадлежащей плоскости.

2^/

a^/

b^/

c^/

AB  CD

а^/b^/  c^/d^/

d^/

1^/

ab  cd

3^/

a

2

c

1

b

d

3

Прямая линия, пересекающая плоскость. Если прямая не принадлежит плоскости и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на пересечение прямой линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии.

При решении задач на пересечение прямой с плоскостью следует выделить частный случай. Если плоскость занимает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения определяется в пересечении проекции прямой с проецирующим следом плоскости, а другая проекция строится с помощью линии связи.

a^/

P_V

k^/

b^/

P_X

X

b

a

k

P_H

Если заданная плоскость общего положения, то точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости.

Для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью необходимо:

1. провести через прямую МN вспомогательную проецирующую плоскость S;

2. построить линию пересечения данной плоскости и вспомогательной;

3. определить искомую точку К пересечения данной прямой МN с линией пересечения плоскостей.

Решение задачи завершается определением видимых участков прямой. Видимость прямой относительно плоскости треугольника определяют путем разбора взаимоположения точек заданной прямой и сторон плоскости треугольника, совпадающих на проекциях.

5. Прямая линия, перпендикулярная к плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если ее проекции перпендикулярны одноименным следам плоскости или соответствующим проекциям горизонтали и фронтали.

На рисунке показана прямая АВ, перпендикулярная плоскости Р, заданной следами. Проведем в плоскости Р через точку В горизонталь. На основе правила проецирования прямого угла, угол, образованный перпендикуляром АВ и горизонталью, будет проецироваться на плоскости Н прямым углом ( abn = 90^). Аналогичный вывод можно сделать и в отношении фронтальной проекции перпендикуляра.

а^/

V

m^/ b^/ ФПГ

Х Р_Х n^/

n b ГПФ

ГПГ

Р_Н

Н

рис.

а

Для того чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости, заданной треугольником, не следует строить следы плоскости. Необходимо сначала построить в плоскости горизонталь и фронталь, а затем провести проекции перпендикуляр под прямым углом к одноименным проекциям горизонтали и фронтали.

Таким образом, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Приведенное положение дает возможность решать ряд задач и, в частности, опустить или восстановить перпендикуляр к плоскости, решить обратную задачу – провести плоскость перпендикулярно прямой, определить расстояние от точки до плоскости.