Вопрос №9

Множества бывают конечными и бесконечными. Множество студентов МГУ – конечное, множество натуральных чисел – бесконечное.

Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Множество называется несчётным, если оно не эквивалентно множеству натуральных чисел.

Континуум – класс множеств, равномощных множеству вещественных чисел. Множества, эквивалентные по числу элементов отрезку [0;1] называется множеством мощности континуума.

Вопрос №10

Мы можем упорядочить целые числа следующим образом:

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 ….

Видим, что множество целых чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, что требовалось доказать.

Вопрос №11

Мы можем упорядочить рациональные числа следующим образом:

По вышеизображённой схеме мы можем упорядочить все элементы множества рациональных чисел. В таком случае прослеживается эквивалентность с множеством натуральных чисел, что и требовалось доказать.

Вопрос №12

Множество С называют объединением или суммой множеств А и В (С = ) если оно состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.

Свойства объединения:

Обозначение:

Геометрическая интерпретация:

Вопрос №13

Множество С называется пересечением или произведением множеств А и В () если оно состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

Свойства пересечения:

Обозначение:

Графическая интерпретация:

Вопрос №14

Множество С называется разностью множеств А и В (С=А\В), если оно состоит из элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В.

Свойства разности:

Законы де Моргана:

Обозначение: С={}

Геометрическая интерпретация:

Вопрос №15

Множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это объединение рациональных и иррациональных чисел. Обозначение Е₁.

Аксиома непрерывности: Пусть множество Е₁ разбито на 2 непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел и выполнено неравенство a < b. Тогда существует единственное число с, такое что для любых а и b выполняется неравенство: а ≤ c ≤ b. Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом класса В (тогда в классе А нет наибольшего).

Пусть . Тогда если , то х* - мажоранта М. М* - множество всех мажорант множества М.

Пусть . Тогда если , то хº - миноранта М. Мº - множество всех минорант множества М.

Множество М ⊂ Е₁ ограничено сверху, если ∃х*:∀х ∈ М ⇒ х ≤ х* (например – множество отрицательных чисел)

Множество М ⊂ Е₁ называется неограниченным сверху, если оно не является ограниченным сверху. Или же если ∀х₁ ∈ Е₁ ∃х₂ ∈ М, х₂ = х₂(х₁) : х₂(х₁) > х₁ (например множество натуральных чисел)

Множество М ⊂ Е₁ ограничено снизу, если ∃хº:∀х ∈ М ⇒ х ≥ хº (например – множество неотрицательных рациональных чисел)

Множество М ⊂ Е₁ называется неограниченным снизу, если оно не является ограниченным снизу. Или же если ∀х₁ ∈ Е ∃х₂ ∈ М, х₂ = х₂(х₁) : х₂(х₁) < х₁ (например – множество отрицательных рациональных чисел)

Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу. (например – множество натуральных чисел, больших 1 и меньших 10)

Число называется максимумом или максимальным элементом множества , если и . Обозначение:

Число называется минимумом или минимальным элементом множества , если и . Обозначение:

Теорема: если , то число  является единственным.

Доказательство: Предположим, что существует число а = max M. Тогда по определению:

, но отсюда следует, что для . Однако отсюда получаем, что b не является максимумом М. Противоречие. Такого числа а не существует. Число b = max M – единственное, что и требовалось доказать.

Теорема: если , то число  является единственным.

Доказательство: Предположим, что существует число а = min M. Тогда по определению:

, но отсюда следует, что для . Однако отсюда получаем, что b не является минимумом М. Противоречие. Такого числа а не существует. Число b = min M – единственное, что и требовалось доказать.