Вопрос 10. Двоичная система счисления.

Основные сведения

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе используются всего две цифры (0 и 1).

Такие сигналы легко задать определенными уровнями напряжения в электронных схемах. Например, 0 вольт — отсутствие напряжения можно считать логическим нулём, а напряжение в 5 вольт принять за единицу. Выставляя различные уровни, можно осуществлять передачу данных в виде последовательностей нулей и единиц, а также реализовать ее обработку и хранение.

История: двоичная система в современном представлении была полностью описана немецким философом и математиком Готтфридом Лейбницем в XVII веке в работе «Explication de l’Arithmetique Binaire» («Объяснение бинарной арифметики»).

Применение: двоичная система используется в цифровой электронике, компьютерной технике. Существует ряд простых логических элементов (микросхем), производящих основные операции над числами двоичной системы.

Вопрос 11. Перевод из двоичной системы счисления в десятичную.

Имеется следующая последовательность нулей и единиц: 1001001012 — всего 9 разрядов. Необходимо представить ее в десятичном виде. Для перевода в десятичную систему счисления запишем справа налево 9 степеней числа 2 (от 0 до 8 степени), все просто, каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на 2:

28 27 26 25 24 23 22 21 20

256 128 64 32 16 8 4 2 1

Запишем под степенями наше двоичное число (слева направо, как есть):

256 128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 0 1 0 0 1 0 1

Затем найдем сумму тех степеней двойки, под которыми стоят единицы:

256 + 32 + 4 + 1 = 293, это и есть результат перевода:

1001001012 = 29310

Итак, запишем правило перевода из двоичной системы счисления в десятичную: для перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную сосчитаем количество разрядов N и запишем степени двух от нулевой до N - 1 справа налево (помним, что каждая последующая степень получается умножением предыдушей на 2). Запишем под ними двоичное число и найдем сумму тех степеней, под которыми стоят единицы. Результатом будет десятичное число, представленное в виде суммы различных степеней числа 2.

Пример 1: перевести число 11110102 в десятичную систему. Считаем число разрядов — 7, значит, нужно записать справа налево степени двойки от нулевой до шестой:

26 25 24 23 22 21 20

64 32 16 8 4 2 1

Запишем под степенями наше двоичное число (слева направо, как есть):

64 32 16 8 4 2 1

1 1 1 1 0 1 0

Найдем сумму тех чисел, под которыми стоят единицы:

62 + 32 + 16 + 8 + 2 = 122, это и есть результат перевода:

11110102 = 12210

Таким образом число 122 представлено в виде суммы ряда степеней числа 2 (основание двоичной системы):

122 = 20 * 0 + 21 * 1 + 22 * 0 + 23 * 1 + 24 * 1 + 25 * 1 + 26 * 1 =

= 1 * 0 + 2 * 1 + 4 * 0 + 8 * 1 + 16 * 1 + 32 * 1 + 64 * 1 =

= 2 + 8 + 16 + 32 + 64 = 122

Единица в двоичном числе определяет наличие в ряде определенной степени, ноль — ее отсутствие (единица и ноль являются множителями перед определенными степенями в примере выше).

Пример 2: перевести число 1010012 в десятичную систему. Считаем число разрядов —

6, значит, нужно записать справа налево степени двойки от нулевой до пятой:

25 24 23 22 21 20

32 16 8 4 2 1

Запишем под степенями наше двоичное число (слева направо, как есть):

32 16 8 4 2 1

1 0 1 0 0 1

Найдем сумму тех чисел, под которыми стоят единицы:

32 + 8 + 1 = 41, это и есть результат перевода:

1010012 = 4110

В электронике устройство, осуществляющее похожее преобразование, называется дешифратором (декодером, англ. decoder).

Дешифратор — это схема преобразующая двоичный код, подаваемый на входы, в сигнал на одном из выходов, то есть дешифратор расшифровывает число в двоичном коде, представляя его логической единицей на выходе, номер которого соответствует десятичному числу.

Преимущества перед другими системами при использовании в компьютерной технике:

— для реализации нужны всего два устойчивых состояния (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.)

— представление информации посредством только двух таких состояний надежно и помехоустойчиво (чем проще система, тем она надежней)

— возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований

— двоичная арифметика проще десятичной, арифметические операции могут выполняться логическими элементами микросхем.

Недостатком двоичной системы является довольно громоздкая запись больших чисел.