2.4. Контрольные задания

1. Концы невесомой нерастяжимой нити намотаны на два одинаковых однородных сплошных диска, один из которых имеет фиксированную ось вращения (рис. 2.2, а). Второй диск, вращаясь, движется вниз. Найдите ускорение центра масс второго диска.

Ответ: 7.8 м/c² .

2. На сплошной однородный диск с фиксированной осью вращения намотана невесомая нерастяжимая нить (рис. 2.2, б). К концу нити прикреплен груз массой 2 кг. Груз движется вниз, разматывая нить. Найдите ускорение груза, если масса груза 3 кг.

Ответ: 5.6 м/c².

3. Через сплошной однородный диск с фиксированной осью вращения (рис. 2.2, в) перекинута невесомая нерастяжимая нить. К концам нити прикреплены грузы массами 2 и 3 кг, которые при своем движении заставляют диск вращаться без проскальзывания. Найдите ускорение грузов, если масса диска 3 кг.

Ответ: 2.8 м/с².

a

б

в

г

Рис. 2.2.

4. На сплошной однородный диск намотана невесомая нерастяжимая нить, второй конец которой закреплен (рис. 2.2, г). С каким ускорением будет опускаться диск, если его предоставить самому себе?

Ответ: 6.5 м/c².

5. Круглый металлический обруч массой и радиусом вращается относительно своего центра с угловой скоростью . Ось вращения перпендикулярна плоскости обруча. Определить момент инерции относительно оси вращения.

Ответ: 0.04

6. Вентилятор вращается с частотой  = 15 с^–1. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 об. Работа сил торможения А = 44.4 Дж. Определите момент сил торможения, считая его постоянным.

Ответ: 94·10^–3 Н· м.

Занятие 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

3.1. Подготовительные задания

1. Дайте определение частной производной функции. Какой геометрический смысл имеет частная производная от функции двух переменных? Как вычислить значение частной производной в данной точке? Что такое оператор? Каков смысл оператора "градиент"? Как обозначается этот оператор? Как вычислить значение градиента функции трех переменных (координат) в данной точке пространства? Что называется дифферен-циальным уравнением?

2. Объясните понятия и термины: внутренние и внешние силы, замкнутая и открытая система, импульс и момент импульса системы, скорость механической системы как целого, полная энергия системы W, упругий и неупругий удары, центр инерции системы, работа А, потенциальная и кинетическая энергии, консервативные и диссипативные силы, потенциальные и непотенциальные поля, время релаксации . Укажите размерности и единицы измерения перечисленных физических величин.

3. В чем преимущество использования законов сохранения по сравнению с детальным решением уравнения движения?

4. Дайте пояснения к следующим формулам:

, (3.1)

, (3.2)

(3.3)

, (3.4)

, , (3.5)

, (3.6)

. (3.7)

3.2. Теоретические задания

1. Пользуясь законами Ньютона, докажите, что импульс и момент импульса замкнутой системы есть величины постоянные. Справедливо ли это утверждение, если рассматривается неупругий удар?

2. Выведите формулу Циолковского

, (3.8)

которая выражает скорость ракеты , приобретенную за счет выбрасывания продуктов сгорания топлива со скоростью u через начальную массу ракеты m₀ и массу m , которую она имеет в момент вычисления скорости.

3. Докажите, что всегда можно подобрать такую инерциальную систему отсчета, в которой импульс замкнутой системы будет равен нулю. Покажите, что в этой системе центр масс неподвижен.

4. Докажите, что законы Кеплера получены на основании закона сохранения момента импульса замкнутой системы.

5. Докажите теорему: кинетическую энергию системы тел можно представить в виде суммы двух членов – кинетической энергии материальной точки массой m, равной сумме всех масс m_i тел системы и движущейся как центр масс системы, и кинетической энергии всех тел в системе отсчета, жестко связанной с центром масс (см. (3.7), где – скорость тел относительно центра масс системы).

6. Частица находится в стационарном потенциальном силовом поле. Как связана сила, действующая на частицу в каждой точке этого поля, с потенциальной энергией частицы?

7. Пусть тело движется в вязкой среде под действием силы тяжести, причем сила трения пропорциональна скорости движения . Покажите, что время релаксации равно отношению массы тела к коэффициенту сопротивления среды r, а равновесное значение скорости .