Глава I. Случайные события. Вероятность

2. Вероятность случайного события

Случайное событие – это всякое явление (факт), которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Вероятность случайного события А – это математическая величина, которая определяет возможность его появления. Она обозначается Р(А).

Пример 1. Лабораторная крыса помещена в лабиринт, в котором лишь один из четырех возможных путей ведет к поощрению в виде пищи. Определите вероятность выбора крысой такого пути.

Решение: по условию задачи из четырех равновозможных случаев (n=4) событию А (крыса находит пищу) благоприятствует только один, т.е. m = 1 Тогда Р(А) = Р (крыса находит пищу) = = 0,25= 25%.

Перечислим свойства вероятности следующие из ее классического определения – формула (1):

Статистическое определение вероятности случайного события

Р^* (А) = .

Р(А) = lim , при N , (2)

Р(А) ≈ Р^* (А) = (при больших N) (3)

Пример. При врачебном обследовании 500 человек у 5 из них обнаружили опухоль в легких (о.л.). Определите относительную частоту и вероятность этого заболевания.

Решение: по условию задачи М = 5, N = 500, относительная частота Р^*(о.л.) = М/N = 5/500 = 0,01; поскольку N достаточно велико, можно с хорошей точностью считать, что вероятность наличия опухоли в легких равна относительной частоте этого события:

Р(о.л.) = Р^*(о.л.) = 0,01 = 1%.

Перечисленные ранее свойства вероятности случайного события сохраняются и при статистическом определении данной величины.

1.3.1. Несовместные случайные события. Теорема сложения вероятностей

Случайные события (А, В, С, D … ) называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 1. Подброшена монета. При ее падении появление «герба» исключает появление «решки» (надписи, определяющей цену монеты). События «выпал герб» и «выпала решка» несовместные.

Пример 2. Получение студентом на одном экзамене оценки «2», или «3», или «4», или «5» – события несовместные, так как одна из этих оценок исключает другую на том же экзамене.

Для несовместных случайных событий выполняется теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного, но все равно какого, из нескольких несовместных событий А₁, А_2, А₃ … А_k равна сумме их вероятностей:

Р(А₁или А₂ … или А_k) = Р(А₁) + Р(А₂) + …+ Р(А_k). (4)

Пример 3. В урне находится 50 шаров: 20 белых, 20 черных и 10 красных. Найдите вероятность появления белого (событие А) или красного шара (событие В), когда шар наугад достают из урны.

Решение: Р(А или В) = Р(А) + Р(В);

Р(А) = 20/50 = 0,4;

Р(В) = 10/50 = 0,2;

Р(А или В) = Р(б.ш. или к.ш.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Пример 4. В классе 40 детей. Из них в возрасте от 7 до 7,5 лет 8 мальчиков (А) и 10 девочек (В). Найдите вероятность присутствия в классе детей такого возраста.

Решение: Р(А) = 8/40 = 0,2; Р(В) = 10/40 = 0,25.

Р(А или В) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Следующее важное понятие – полная группа событий: несколько несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате каждого испытания может появляться только одно из событий этой группы и никакое другое.

Пример 5. Стрелок произвел выстрел по мишени. Обязательно произойдет одно из следующих событий: попадание в «десятку», в «девятку», в «восьмерку»,.. ,в «единицу» или промах. Эти 11 несовместных событий образуют полную группу.

:

Пример 7. Пусть Р(А) – вероятность летального исхода при некотором заболевании; она известна и равна 2%. Тогда вероятность благополучного исхода при этом заболевании равна 98% (Р() = 1 – Р(А) = 0,98), так как Р(А) + Р() = 1.