Elementy_teorii_veroyatnostey_Tsekhovaya

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра теории вероятностей и математической статистики

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания и упражнения для студентов факультета прикладной математики

и информатики

МИНСК

2009

1

УДК 519.2(076) ББК 22.171я73 Э456

Утверждено на заседании кафедры теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и информатики

27 октября 2009 г., протокол № 4

А в т о р - с о с т а в и т е л ь :

Т. В. Цеховая

Элементы теории вероятностей : Метод. указания и упражнения

Э456 для студентов факультета прикладной математики и информатики / авт.-сост. Т. В. Цеховая.– Мн. : БГУ, 2009.– 53 с.

Методические указания и упражнения «Элементы теории вероятностей» посвящены изучению отдельных разделов курса «Теория вероятностей и математическая статистика» и содержат задачи, рекомендуемые для решения на лабораторных занятиях. В начале каждой темы приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения типовых задач.

Предназначено для студентов факультета прикладной математики и информатики.

УДК 519.2(076) ББК 22.171я73

© БГУ, 2009

2

1. ФУНКЦИЯ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Задано вероятностное пространство (Ω, , Р). Если каждому возможному значению случайной величины ξ = ξ(ω), ω Ω, соответствует одно возможное значение случайной величины η = η(ω), ω Ω, то η называют функцией случайного аргумента ξ и записывают η = ϕ(ξ).

Если ξ – дискретная случайная величина и функция η = ϕ(ξ) строго монотонна, то различным значениям ξ соответствуют различные значения η, причем вероятности соответствующих значений ξ и ϕ(ξ) одинаковы. Другими словами, возможные значения η находят из равенства yi = ϕ(xi), где xi – возможные значения ξ; вероятности возможных значений η находят из равенства P{η = yi} = P{ξ = xi}.

Если же η = ϕ(ξ) – немонотонная функция, то различным значениям ξ могут соответствовать одинаковые значения η. В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений η следует сложить

вероятности тех возможных значений ξ, при которых η принимает одинаковые значения. Другими словами, вероятность повторяющегося

значения η равна сумме вероятностей тех возможных значений ξ, при которых η принимает одно и то же значение.

Пусть ξ – случайная величина с абсолютно непрерывной функцией

распределения Fξ(x), x R = (– ∞, + ∞), и плотностью распределения рξ(x), x

R.

Предположим, что случайная величина η связана с ξ функциональной

зависимостью η = ϕ(ξ), где ϕ(x) – строго монотонная функция, дифференцируемая на всем промежутке возможных значений аргумента x.

Тогда плотность вероятности случайной величины η выражается формулой

где ψ(у) – функция, обратная по отношению к ϕ(x).

Если функция ϕ(x) в интервале возможных значений ξ не монотонна, но возможно разбить этот интервал на k участков монотонности ϕ(x), то

следует найти обратную функцию на каждом из них: ψ1(у), ψ2(у),…, ψk(у), а затем воспользоваться формулой

k

рη(у) = ∑pξ(ψi (y)) |ψi′(у)|.

i=1

Замечание. Пусть у = ϕ(x) – непрерывная возрастающая функция, тогда для случайной величины η = ϕ(ξ):

Fη(у) = P{η < у} = P{ϕ(ξ) < у} = P{ξ < ϕ-1(у)} = Fξ(ϕ-1(у)) = Fξ(ψ(у)).

Если ϕ(x) – дифференцируема, то

4

рη(у) = рξ(ψ(у))ψ′(у).

Пусть у = ϕ(x) – убывающая функция, тогда

Пример 1. Пусть задан закон распределения случайной величины ξ:

Найти закон распределения случайной величины η = ξ2.

Решение. Случайная величина η принимает значения у1 = ϕ(x1) = (– 1)2 = 1,и 4,у2причем= ϕ(x2) = 12 = 1, у3 = ϕ(x3) = 22 = 4, т.е. она принимает два значения: 1

р1 = P{η = 1} = P{ξ = – 1} + P{ξ = 1} = 0,1 + 0,3 = 0,4,

р2 = P{η = 4} = P{ξ = 2} = 0,6.

Следовательно, ряд распределения случайной величины η имеет вид

Пример 2. Пусть ξ – случайная величина с плотностью рξ(x), x R. Найти плотность распределения функции η = – 5ξ + 2.

Решение. Функция у = – 5х + 2 монотонно убывает в интервале (– ∞, + ∞). Обратная функция есть х= (2 – у)/5 = ψ(у), ψ′(у) =– 1/5. По формуле (1) имеем

рη(у) = рξ(ψ(у))|ψ′(у)| = pξ( 2 −5 y ) | − 15 | = 15 pξ( 2 −5 y ) , у R.

Проиллюстрируем на примере 2 вывод формул для функции и плотности распределения.

Fη(у) = P{η < у} = P{– 5ξ + 2 < у} = P{ξ > (2 – у)/5} = 1– P{ξ ≤ (2 – у)/5} =

= 1 – (P{ξ < (2 – у)/5} + P{ξ = (2 – у)/5}).

Поскольку P{ξ = (2 – у)/5} = 0, имеем

Fη(у) = 1 – P{ξ < (2 – у)/5} = 1 – Fξ((2 – у)/5).

Далее, зная функцию распределения величины η, найдем плотность

рη(у) = Fη′(у) = (1 – Fξ( 2 −5 y ))′у = – рξ( 2 −5 y ) ( 2 −5 y )′у = –

рξ( 2 −5 y ) ( − 15 ),

т.е. рη(у) = 15 pξ( 2 −5 y ) , у R.

Упражнения

5

1. Пусть задан закон распределения дискретной случайной величины ξ:

параметром λ. Найти плотность распределения случайной величины η= ξ .

7. Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения Fξ(x), x R. Предположим, что η = 29ξ – 43. Найти функцию распределения случайной величины η.

8.Задана функция распределения Fξ(x), x R, случайной величины ξ. Предположим, что η = – (2/3)ξ + 2. Найти функцию распределения случайной величины η.

9.Задана плотность распределения рξ(x), x R, случайной величины ξ. Найти функцию и плотность распределения случайной величины η= – 7ξ+ 4.

10.Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке

[0, 1]. Найти функцию распределения случайной величины η = 1 – ξ.

11. Случайная величина ξ задана плотностью распределения рξ(х) = 1, х [1, 2], и рξ(х) = 0, х [1, 2]. Найти плотность распределения случайной величины η = ξ2/4.

6

12.Случайная величина ξ равномерно распределена на [– π/2, π/2]. Найти распределение η = sinξ.

13.Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [0, π/2]. Найти распределение η = sinξ.

14.Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [0, π]. Найти распределение η = sinξ.

15.В прямоугольной системе координат хОу из точки А(4; 0) наудачу (под произвольным углом t) проведен луч, пересекающий ось Оу. Найти плотность распределения вероятностей ординаты у точки пересечения проведенного луча с осью Оу.

16.Задана плотность распределения случайной величины ξ: рξ (х) = 1/π,

х (– π/2, π/2); вне этого интервала рξ(х) = 0. Найти плотность распределения случайной величины η = tgξ.

17.Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [– 1, 1]. Найти плотность распределения случайной величины η = ξ2.

18.Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [– 1, 2]. Найти плотность и функцию распределения случайной величины η = ξ2.

19.Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [0, 2π]. Найти плотность распределения случайной величины η = cosξ.

21.Случайная величина ξ распределена по закону Коши с плотностью pξ(x) = (π(1+ x2 ))−1 . Найти плотность распределения величины η = ξ3 + 2.

22.Задана плотность распределения pξ(x) случайной величины ξ,

возможные значения которой заключены в интервале (0, + ∞). Найти плотность распределения случайной величины η, если а) η = e−ξ ; б) η = lnξ.

23. Задана плотность распределения pξ(x) случайной величины ξ,

возможные значения которой заключены в интервале (0, + ∞). Найти плотность распределения случайной величины η, если а) η = ξ3; б) η = 1/ξ2;

в) η = ξ .

24. Задана плотность распределения рξ(х) случайной величины ξ, возможные значения которой заключены в интервале (– ∞, + ∞). Найти

плотность распределения случайной величины η, если а) η = ξ2; б) η = e−ξ2 . 25. Задана плотность распределения рξ(х) случайной величины ξ, возможные значения которой заключены в интервале (– ∞, + ∞). Найти плотность распределения случайной величины η, если а) η = |ξ|; б) η = cosξ.

7

26.Задана плотность распределения вероятностей рξ(х) случайной величины ξ, возможные значения которой заключены в интервале (– ∞,+ ∞).

Найти плотность распределения случайной величины η, если а) η = arctgξ;

б) η = 1/(1 + ξ2).

27.Острый угол ромба со стороной а подчинен закону равномерного

распределения на отрезке [0, π/2]. Найти плотность распределения площади ромба.

28.Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения случайной величины η = ξ2.

29.Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения величины η = 0,5ξ2.

30.Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Найтиплотностьраспределенияслучайнойвеличины η= 3ξ3.

31.Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения случайной величины η = |ξ|.

34.Случайная величина ξ задана плотностью распределения рξ(х) = соsx

винтервале (0, π/2); вне этого интервала рξ(х) = 0. Найти плотность распределения случайной величины η = ξ2.

37.Найти плотность распределения случайной величины η = 1/ξ, если случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [0,250, 0,375].

38.Найти плотность распределения случайной величины η = 1/ξ, если случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [0, 0,5].

39. Докажите, если величина ξ распределена равномерно на отрезке [0, 1], то η = – lnξ имеет показательное распределение с параметром λ = 1.

40. Докажите, что если случайная величина ξ равномерно распределена

на отрезке [a, b], то величина η = (ξ– a)/(b – a) равномерно распределена на

[0, 1].

8

2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины ξ, имеющей закон распределения pi = P{ξ = xi}, i = 1, N , N ≤ ∞, вычисляется как сумма ряда:

i=1

причем ряд в правой части предполагается сходящимся абсолютно (в

противном случае случайная величина ξ не имеет математического ожидания).

Дисперсия дискретной случайной величины ξ вычисляется по формуле

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины ξ с

плотностью распределения pξ(х) вычисляется как интеграл Римана:

+∞

тξ = Мξ = ∫xpξ(x)dx .

−∞

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно (в противном случае величина ξ не имеет математического ожидания).

Дисперсия случайной величины ξ с плотностью распределения pξ(х) вычисляется по формуле

случайной величины η, связанной функциональной зависимостью η= ϕ(ξ), можно пользоваться соотношениями:

Если ξ – случайная величина с плотностью распределения вероятностей pξ(х) и η= ϕ(ξ), ϕ(х) – непрерывная функция, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины η вычисляются по формулам:

−∞

9

Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины η = cos2(πξ/2).

Решение. Ряд распределения случайной величины η имеет вид

Применяя формулу (2), вычислим математическое ожидание случайной величины η.

тη = Мη = 0 0,5 + 1 0,5 = 0,5.

Найдем дисперсию:

2

Dη = ∑y2j p j − mη2 = 02 0,5 + 12 0,5 – 0,52 = 0,5 – 0,25 = 0,25.

j =1

Пример 4. Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [– 1, 5]. Найти математическое ожидание случайной величины

η = (ξ – 1)(3 – ξ).

Решение. Для вычисления математического ожидания случайной величины η применим формулу (3). Тогда

Упражнения

1. Дискретная случайная величина ξ имеет закон распределения:

Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины η = sin{ π2 ξ } + 1.

2. Вероятность изготовления станком бракованной детали равна р. Переналадка станка происходит после выпуска пятой бракованной детали. Найти математическое ожидание числа изготовленных деталей до переналадки.

10