Множества.

Def.1 Множество – это наиболее общее понятие высшей математики – некоторый набор различных объектов.

Обозначаются большими буквами А,B,С,X... Элементы множеств - a,b,c,x..

Если А=B , то эти множества состоят из одинаковых элементов,

aA  aB , A={1,2,3}, B={1,3,2}  A=B , {1,1,2,3} - не множество.

Операции над множествами.

1) Операция взятия подмножества (выделение):

AB - А является подмножеством множества В

аА  аВ , (ABBA)  A=B (можно писать АА)

- пустое множество , по определению А

2. Операция объединения множеств:

(AB ) := (cA  cB) c AB

2. Операция пересечения множеств:

(AB) := (c  Ac B) c  A  B

2. Операция разности множеств:

A\B = те элементы в А которые в В не содержатся

Множества бывают конечные и бесконечные (с конечным и бесконечным количеством элементов).

Способы задания множества.

1. Перечисление A = {1, 2, 3, …, 10000}

2. C помощью задания общего свойства

A = {a: } – в это мнножество входят те элементы а, которые обладают свойством 

Отображение множества функции.

Def.1 Пусть заданы два множества А В и пусть заданы два правила f и пусть

каждому элементу хА ставится в соответствии элемент уВ (хАуВ)

Тогда говорят , что на множестве А задана функция принимающая значение на множестве

В или функция f отображает множество А на множество В . При этом множество А называется областью определения функции. Элемент у соответствующий элементу х называется образом элемента , а элемент х соответствующий у - прообразом элемента.

Примеры : f:AB , f:xy , f:xf(y) или x: f(y).

Элемент ух обозначается f(х) и называетса значением функции в т. х

Классификация функций.

Def1 Пусть СА oбразом множества С при отображении f:АВ называется

следующее множество: f(С)={yB/ xC : y=f(x)}

f(A) - область значений функции.

Def.2 Пусть задано DB и f:AB . Прообразом множества D при отображении f называется f^-1 (D):= {xA/y=f(x)D } .

Def.1 Отображение f:XY – сюръективное (отображение на) если Y=f(x)

те для у х  Х : y=f(x)

Def.2 Отображение f:XY - инъективное если для x₁ , x₂ X и x₁  x₂ 

f(x₁ )f(x₂ )

Def.3 f:xY – биективное, если f- сюрьективное и инъективное

f:XY - биекция , yY !x:y=f(x) xy , y=f(x) x=f^-1 (y)

Пример: y=x^1/2 (R, {0})(R,{0})

Пусть : y=f(x) f:XY , z=f(y) g:YZ g₀ f:XZ , g₀ f(x):=g(f(x)) , (x,y):y=f(x) - график функции y=f(x).

Cравнение множеств.

1. A,B aA , bB A и B равномощны (AB), если для  f:AB , является биекцией.

Def.1 A - счетное множество, если AN:={1,2,3,...,n,...} , A:={a₁ ,a₂ ,a₃ ,...,a_n ,...}

Th.: A, B - счетные множества  AB - cчетно.

A={a₁ ,a₂ ,a₃ ,...,a_n ,...}

B={b₁ ,b₂ ,b₃ ,...,b_n ,...}

AB={a₁ , b₁,a₂ , b₂,a₃ , b₃,...,a_n , b_n ,... } 

Cледствие: A₁ ,...,A_n - счетные множества  A₁ ...A_n - cчетное множество.

Пусть k=1 , тогда A₁ - счетное множество , kk+1 (A₁ ...A_k )=B - cчетно

A₁ ...A_k  A_k+1 =BA_k+1 Итак , объединение любого кончного числа - счетное множество 

Th. A₁ ,...,A_n ,...- счетное множество  A₁ ...A_n ... =:U_n=1^ A_n - cчетно .

A₁ ={ a₁₁ , a₁₂ , a₁₃ , .…, a_1n , …}

A₂ ={ a₂₁ , a₂₂ , a₂₃ , ..., a_2n , …} будем вычеркивать повторяющиеся элементы

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A_m ={ a_m1 , a_m2 , a_m3 , ..., a_{m n} , …}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

[0;1]:={x:0x1} A[0;1] - континуум

Аксиоматика вещественных чисел.

R - множество вещественных чисел , если xR , yR , то (x+y)R

Аксиомы сложения.

1)x,y  R  x+y=y+x (коммутативный закон сложения)

2)x,y,z  R  (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативный закон сложения)

3)0 : xR x+0=x

4)xR x¹ : x+ x’ =0 (x=-x’)

Аксиомы умножения.

( x,yR  xy=R ):

1)x,y  R  xy=yx

2)x,y,z  R  (xy)z=x(yz)

3)1 : xR x*1=x

4)xR\{0}  x”x *x ^”=1 (x=1/ x” =x^-1)

5)x,y,z  R  x(y+z)=xy+xz

Множества R , удовлетворяющие аксиомам 1 и 2 , называются алгебраическим полем.

Аксиомы порядка.

Эти аксиомы говорят о том , что между любыми элементами множества R действует

отношения порядка  , согласно которому для  x, y R верно (xy)(yx)

Свойства

1)xx xR

2)(xy)(yx)  x=y

3)Если (xy)(yz)  xz x,y,z R

4)xy  x+zy+z ,  x,y,z R

5)(x0)(y0)  (xy0) ,  x,yR

Множества , удовлетворяющие аксиомам 1-3 , называется линейно-упорядоченным полем

Аксиома полноты (непрерывности).

X и Y непустые подмножества множества R , такие , что xXyY справедливо

xy , тогда  сR : xcy , xX ,yY.

Точные грани числовых множеств.

Def.1 Числовое множество Х называется ограниченным сверху , если сR :xc , xX

При этом число с называется мажорантой Х (или верхней гранью Х). Множество всех мажорант множества Х обозначим символом М(Х)

Th.1 Множество Х ограничено cверху  , когда М(Х) .

1) Пусть Х - ограничено сверху, с: xc , cX  , что cM(X) - множество всех мажорант  M(X) 

2) Пусть М(Х)   cM(X)  xc ,xX - множество ограничено

Def.2 Числовое множество Х называется ограниченным снизу , если сR :сх , xX. При этом число с называется минорантой Х (или нижней гранью Х).Множество всех мажорант множества Х обозначим символом m(Х)

Th.2 Множество Х ограничено снизу , когда m(Х) .

 1) Пусть Х - ограничено снизу, с: сх , cX  , что cm(X) - множество всех минорант  M(X) 

2) Пусть м(Х)   cM(X)  сх ,xX - множество ограничено.

Def.3 Пусть Х - числовое множество . Число аХ называется максимумом множества Х или наибольшим эл-том множества Х , если выполнено неравенство ха ,xX , a=max(X) или a=max(x) , xX

Def.4 Пусть Х - числовое множество . Число bХ называется минимумом множества Х или наименьшим эл-том множества Х , если выполнено неравество хb ,xX , b=min(X) или b=min(x) , xX .

Def.5 (Определение точной верхней грани множества) X - ограниченное сверху числовое множество и М(Х) - множество всех его мажорант , тогда точной верхней гранью Х называется число minM(X), это число обозначается sup(x) , xX ( sup(x)=minM(x) ) .

Def.6 (Определение точной нижней грани множества) X - ограниченное снизу

числовое множество и М(Х) - множество всех его минорант , тогда точной нижней гранью Х называется число maxM(X), это число обозначается inf(x) , xX

(inf(x)=max m(x) ).

Теоремы существования точных граней множеств.

Тh.1 Пусть X-ограниченное сверху числовое множество , тогда  верхняя грань множества X

Х и М(Х) - два множества , xy , xX , уM(x).Cогласно аксиоме полноты сR : xcy для xX и yM(X) . Cледует , что с - мажоранта Х  сМ(Х) , Также с=minM(X)=supX 

Тh.2 Пусть X- ограниченное снизу числовое множество , тогда  нижняя грань множества X.

Х и m(Х) - два множества , yx , xX , уm(x).Cогласно аксиоме полноты сR : ycx для xX и ym(X) . Cледует , что с - миноранта Х  сm(Х) , Также с=maxM(X)=infX 

Если: supX=+  X не ограничено сверху , M(X) .

infX=-  X не ограничено снизу , m(X) .

Свойства точных граней.

1. Cвойство точной верхней грани . Х - ограниченное сверху числовое множество и а=supX. Тогда : 1) xa , xX 2)  a₁ <a , x₁ x : x>a₁

Этими двумя свойствами определяется точная верхняя грань множества.

2. Cвойство точной нижней грани . Х - ограниченное снизу числовое множество и b=infX. Тогда : 1) xb , xX 2)  b₁ >b , x₁ x : x<b₁

Этими двумя свойствами определяется точная нижняя грань множества.

Пример1: Множество Х=(1:2]{3} , supX=3 , infX=1.

Пример2: Множество Х=N , supX=+ , infX=1.

Если ограниченное сверху множество Х имеет максимальный элемент, то он совпадает с точной верхней гранью, аналогично если ограниченное снизу множество Х имеет минимальный элемент, то он совпадает с точной нижней гранью.

Лемма о стягивающихся отрезках (Коши-Кантор).

Def.1 Cистема или последовательность отрезков I₁ ,I₂ ,...,I_n ,... называется

стягивающейся системой , если выполнены условия :

1. I₁ >I₂ >...>I_n >...

2. I_n =[a_n b_n ] , то b_n -a_n <  ,  >0.

Lem. Какова бы ни была система стягивающихся отрезков, существует единственная точка с I_n ,nN (c=^_n=1 I_n).

 I_n =[a _n,b_n ] A=[a₁ ,a₂ ,..., a _n ,...] , B=[b₁ ,b₂ ,...,b_m ,...] , a_m b_n ,m,nN .

Согласно аксиоме полноты сR : a_m cb_n , m,nN ,m=n , a_ncb_n , nN

 c I_n = [a_n,b_n] , nN  c ^_n=1 I_n

Докажем , что с - одна : Предположим с₁ и с₂ : с₁ I_n , c₂ I_n , nN

c₁ -c₂ =:>0 , I [c₁ ,c₂ ] , nN , это невозможно , т.к. означает , что :

0<b_n -a_n < , >0.

Лемма о предельной точке множества.

Def.1 Окрестностью точки pR называется любой интервал (a,b)эp

Def.2 Пусть задано множество ХR , точка pR называется предельной точкой

множества Х , если в любой окрестности точки p содержится бесконечное подмножество множества Х . Множество всех предельных точек множества называется замыканием множества Х

Lem. (о предельной точке) XR имеет хотя бы одну предельную точку. Любое ограниченное множество имеет пустое замыкание Х.

X - ограничено , I₀ =[a,b]Х , докажем , что  т.p [a,b] и является пр точкой Х, с₁ лежит в середине отрезка [a,b] ,c=(a+b)/2 .Рассмотрим 2 отрезка [a, с₁ ][с₁ ,b], хотя бы в одном лежит Х , с₂ =(с₁+b)/2 , рассмотрим отрезки [с₁, с₂ ][с₂ ,b] , хотя бы в одном лежит Х , [с₁ , с₁ ] - бесконечное множество . Продолжим этот процесс до  , тогда получим систему стягивающихся отрезков и по лемме имеем , что  единственная точка pI_n : 1.p I₀ , 2. В окрестности точки p I_n I₀  точка p - предельная точка множества Х 

Теория пределов.

Def.1 Числовой последовательностью называется функция NR, т.е. функция определена на множестве N и принимающая значения на множестве R

Значения f(n) называются членами последовательности и аргументы n записываются в виде нижнего индекса.

Последовательность обозначается {f₁, f_2, f_3, ..., f_n, ...} или (f)_n=1^ f_n называется общим членом последовательности.

Пример. f_n =1/n (1/n)_n=1^ = {1,1/2,1/3,...,1/n,...}

Def. 2 Пусть задана последовательность (а)_n=1^ аR называется предел нашей последовательности, если >0 N=N(): |а_n-a|< при n>N() a=lim_na_n a_na(n)

Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противном случае - расходящаяся.

Пример.  lim_n(1/n)=0 >0; |1/n-0|<  1/n< n=[1/] [x] - целая часть x

Наибольшее целое число, не превосходящее х [3,2]=3; [-2,5]=-3.

Геометрическая иллюстрация понятия пределов.

(а)_n=1^ а_n1 (n) >0 N=N(): |а_n-a|< при n>N()

 отрезок точки а , который является последовательностью, должно быть расположено  множество точек данной последовательности,  вне любой окрестности лишь не более чем конечное число точек данной последовательности   сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность не всегда бывает сходящейся, она может быть и расходящейся.

Геометрическая иллюстрация предела.

a -  a a +  R

| а_n -a|<  n  N  а_n< a + ; а_n< a - ; a-  < а_n< a + 

В любой окрестности точки а, которая является пределом должно быть расположено бесконечное множество точек данной последовательности, а вне ее – конечное множество точек данной последовательности.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Последовательность не всегда является сходящейся, она может быть и расходящейся.

Пример. а_n=(-1)ⁿ ((-1)) _n=1^ расходящаяся. Предположим (-1)ⁿ сходится в точке а,

а_n=(-1)ⁿ a  R.

( ) ( ) ( )

-1 a 1 R

1) а±1 , то  окрестность точки а , но в ней нет ни одной точки последовательности  точка а не является пределом.

Th.1 (а)_n=1^: а_n=const; n>N₀ lim_nа_n=c >0 N= N₀: |а_n-a|< при n> N₀ lim_nа_n=c

Th.2 (единственность предела).

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

 Пусть последовательность имеет 2 предела а₁ а₂ (а)_n=1^ U₁U₂=

В U₁ бесконечное количество членов  вне её конечное, но в U₂ тоже бесконечное количество членов  вне её тоже конечно. Мы пришли к противоречию. 

U₁ U₂

( ) ( )

a₁ a₂ R

Th.3 Пусть заданы (а)_n=1^ и (b)_n=1^; lim_nа_n=a; lim_nb_n=b;

1) lim_n(а_n+b_n)= lim_nа_n + lim_nb_n=a+b

2) lim_n(а_n*b_n)= lim_nа_n * lim_nb_n=a*b

3) lim_n(а_n*c)= lim_nа_n *c=a*c

4) lim_n(а_n/b_n)= lim_nа_n / lim_nb_n=a/b, b0.

(1) >0 N₁= N₁(): |a_n-a|< при n> N₁ >0 N₂= N₂(): |b_n-b|< при n> N₂; N:=max(N₁,N₂) |a_n+ b_n-(a+b)|= |(a_n-a)+(b_n-b)|; |(a_n-a)+(b_n-b)| |a_n-a|+|b_n-b|(/2+/2=) n> N 

Переход к пределу неравенства.

Th.1 (а)_n=1^; (b)_n=1^ - сходящиеся; lim_nа_n=a; lim_nb_n=b; а_n b_n n>N₀  ab;

>0 N₁= N₁(): |a_n-a|< при n> N₁ >0 N₂= N₂(): |b_n-b|< при n> N₂

 

a-<a_n<a+ b-<b_n<b+

N:=max(N₁,N₂,N₀); a-<a_nb_n<b+; ab+2  ab 

Th.2 (x _n)_n=1^, (y _n)_n=1^, (z _n)_n=1^

1) lim_nx_n = x = lim_nz_n

2) N₀N: x _ny _nz _n n> N₀ lim_ny_n =x >0 N₁= N₁(): |x_n-x|< при n> N₁

>0 N₁= N₁(): |y_n-y|< при n> N₁ N:=max(N₁,N₂,N₀) n>N

x-< x_n x-<x_ny_nz_n<x+  |y_n- x|< n>N lim_ny_n =x

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Def.1 ( _n)_n=1^ - бесконечно малая последовательность, если lim _n _n=0 >0 N=N(): | _n|< при n>N

Th.1 (а)_n=1^ аR  а_n=a+ _n nN ( _n)_n=1^ - бесконечно малая последовательность.

 lim_na_n = a  lim_n (a_n -a)=0; a_n -a=: _n  а_n=a+ _n nN ( _n)_n=1^ - бесконечно малая последовательность 

Def.1 Говорят, что ( _n)_n=1^ - бесконечно большая последовательность, если  ( _n)_n=1^ - бесконечно малая последовательность и  _n=1/ _n nN; lim_n_n =  Если произведение  _n=1/ _n  _n >0 n>N₀, то lim_n_n = +, если  _n<0 n>N₀, то

lim_n_n = - 

Def.2 Последовательность (а)_n=1^ называется ограниченной сверху, если МR : а_nM nN Последовательность ограниченная сверху или снизу называется ограниченной : lim_n_n =   МR;  N=N(M) |_n| > M n>N  _n=1/ _n ; |_n|=1/(| _n|) | _n|< n>N

 _n=1/ _n >1/=M n>N

Если последовательность бесконечно большая, то она не может быть ограничена, однако не каждая ограниченная последовательность является бесконечно большой.

Cуществование предела числовой последовательности.

Def.1 (а)_n=1^ называется фундаментальной.

>0 N= N(): |a_m-a_n|< при n> N₁ и n> N₁ Расстояние между членами этой последователь- ности a_m и a_n меньше >0, если только m и n достаточно велики.

Критерий Коши.

Последовательность (а)_n=1^ называется сходящейся, если lim_na_n  она фундаментальна

 lim_na_n = a  >0 N= N(): |a_n-a|</2 при n> N()

|a_m-a_n|=|(a_m-a)-(a_n-a)| |a_m-a|-|a_n-a|<(/2+/2=) n> N()(а)_n=1^ - фундаментальна

2) (а)_n=1^ - фундаментальна >0 N= N(): |a_m-a_k|< при m,k>N()

fixe k=N+1>N (зафиксировали k) -<a_m-a_n< m>N=N()

1) a_N+1-<a_m< a_N+1+ m>N  последовательность ограничена

x_n=inf_mna_na_msup_mna_n= y_n I_n = [x_n , y_n] nN докажем, что эта система отрезков представляет собой стягивающуюся систему отрезков.

x_n=inf_mna_mx_n+1=inf_mn+1a_my_n+1=sup_mn+1a_nsup_mna_n= y_n

x_nx_n+1y_n+1y_n I_n+1 = [x_n+1 , y_n+1]  I_n = [x_n , y_n]

Докажем, что длина уменьшается. Из неравенства 1) получается a_N+1-<a_m 

a_N+1-inf_mna_m=x_n a_N+1-x_ny_n a_N+1+ n>N

|y_n|y_n- x_n a_N+1+-(a_N+1-)    система отрезков I_n стягивающаяся

Используя лемму о системе стягивающихся отрезков, согласно которой

 aR: aI_n т.е. x_nay_n nN |a_m-a|y_n-x_n<2<3  lim_na_n = a 

Существование предела монотонной последовательности.

Последовательность (а)_n=1^ :

1) монотонно возрастающая, если a_n+1>a_n nN

2) монотонно неубывающая , если a_n+1a_n nN

3) монотонно убывающая , если a_n+1<a_n nN

4) монотонно невозрастающая, если a_n+1a_n nN

Th.1 (Вейерштрасса). Если (а)_n=1^ монотонно не убывающая и ограничена сверху, то

lim_na_n = sup_nNa_n

>0 По определению точной верхней грани можно утверждать N=N()

S-<a_N S-<a_Na_n< S< S+ nN  |a_n-S|< n>N  lim_na_n=S=sup_nNa_n 

Th.2 (Вейерштрасса). Если (а)_n=1^ монотонно не убывающая и ограничена снизу, то

lim_na_n = inf_nN a_n Доказательствово аналогично Th.1.

Неравенство Бернулли.

nN x>-1 имеет место: (1+x)ⁿ1+nx

1) при n=1 1+x1+x

2) предположим при n=k (1+x)^k1+kx

3) при n=k+1

(1+x)^k+1=(1+x)(1+x)^k(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx² 1+(k+1)x 

Число е.

Th.1

1) lim _n(1+1/n) ⁿ=: e

2) e=inf_nN(1+1/n) ⁿ⁺¹=sup_nN(1+1/n) ⁿ

3) kN  (1+1/k)^k<e<(1+1/k) ^k+1

 x_n=(1+1/n) ⁿ⁺¹ , nN; (x_n) _n=1^ Покажем, что последовательность монотонно убывает x_n / x_n+1>1, x_n-1 / x_n =(1+1/n) ⁿ/(1+1/n) ⁿ⁺¹=(n/(n+1))*((n ²+1-1)/( n ²-1))ⁿ=

=(n/(n+1))*(1+1/( n ²-1))ⁿ(n/(n+1))*(1+n/( n ²-1))> (n/(n+1))*(1+1/ n)=1  x_n-1 > x_n n>2 nN x_n=(1+1/n) ⁿ⁺¹>0, nN; (x_n) _n=1^ - монотонно убывающая и ограничена снизу  (по теореме Вейерштрасса) lim _n∞(1+1/n) ⁿ⁺¹=: (1+1/n) ⁿ=(1+1/n) ⁿ⁺¹/(1+1/n) e:= =lim _n(1+1/n) ⁿ= lim _n(1+1/n)ⁿ⁺¹/ lim _n(1+1/n)=lim _n(1+1/n)ⁿ⁺¹=  =e

=e= inf_nN(1+1/n) ⁿ⁺¹ (y_n) _n=1^ , где y_n=(1+1/n) ⁿ y_n+1/y_n=(1+1/n) ⁿ⁺¹/(1+1/n)ⁿ=

=(n+2)/(n+1)*((1+1/(n+1))/(1+1/n))ⁿ=(n+2)/(n+1)*(n(n+2)/(n+1)²)ⁿ=

(n+2)/(n+1)*(1-1/(n+1)²)ⁿ(n+2)/(n+1)*(1-n/(n+1)²)=

= (n+2)/(n+1)*( n²+n+1)/ (n+1)²=(1+(n+1)³)/ (n+1)³>1

(y_n) _n=1^ - монотонно возрастающая и поскольку  lim _n∞y_n=e ограничена снизу

По теореме Вейерштрасса lim _n(1+1/n) ⁿ=: e= sup_nN(1+1/n) ⁿ

e= sup_nN(1+1/n) ⁿ>(1+1/k) ^k e= inf_nN(1+1/n) ⁿ⁺¹<(1+1/k) ^k+1 k N 

Пользуясь 3-им пунктом этой теоремы, предполагая k=100 получим

2,70...=1,01¹⁰⁰< e <1,01¹⁰¹=2,73...

Подпоследовательность и частичный предел последовательности.

Def. 1 Пусть задана последовательность (а)_n=1^ и задана некоторая возрастающая последовательность натуральных чисел n₁<n₂< ...< n_n<... тогда последовательность

(а_n1, а_n2,..., а_nk,...)=(а)_n=1^ называется подпоследовательностью (а)_n=1^

Пример. а_n=n (n)_n=1^=(1,2,3,...,n,...) (2,4,6,....2k,...)= (2k)_k=1^

Th.1 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

{xR: nN: x=a_n} - множество всех значений (а)_n=1^

1) E - конечное множество. xE (хоть одно) и  (n)_k=1^ ( n_kN; n_k - возрастает)

x=a_n1= a_n2= a_n3=...=a_nk=... lim_ka_nk=x

2) E- бесконечное и ограниченное множество. По лемме Больцано - Вейерштрасса (о предельной точке бесконечном ограниченном множестве). Мы можем утверждать, что существует точка p - предельная точка множества Е (хоть одна).

p-1/k<x< p+1/k kN; a_nk - точка множества Е, которая принадлежит окрестности

(p-1/k;p+1/k) p-1/k<a_nk< p+1/k kN  p-1/ka_nkp+1/k kN lim_k∞(p-1/k)= =im_k(p+1/k)= p  lim_ka_nk=p 

Если последовательность ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а если последовательность не ограничена, то из нее можно выделить или сходящуюся подпоследовательность или бесконечно большую подпоследовательность. Это расширенная формулировка теоремы Больцано - Вейерштрасса.

Def.2 Число или символ ± называется частичным пределом последовательности (а)_n=1^, если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность сходящеюся к этому числу или символу.

Пример а_n=(-1)ⁿ n=1,2,3,4,5,... {1,-1, 1,-1, 1,-1,...,1,-1, 1,-1,...}

n_k=2k+1; k,nN (а_nk)_k=1^=(-1,-1,-1,...-1,-1-,...)  -1 частичный предел

((-1)ⁿ)_n=1^ при n_k=2k n_k=2k  1 частичный предел.

Def.3 (а)_n=1^ Наибольший из частичных пределов этой последовательности называется верхним пределом последовательности, а наименьший из частичных пределов называется нижним пределом последовательности.

Верхний и нижний предел обозначают соответствующими символами: lim_n а_n

(или lim_n∞ inf а_n); lim_n а_n (или lim_n sup а_n)

Свойства верхнего и нижнего предела.

1)⁰  lim_n а_n=a  lim_n∞ а_n=lim_n а_n=a

 Пусть  lim_n а_n=a, тогда оп определению предела мы видим, что любая другая подпоследовательность стремиться к тому же числу а  все частичные пределы совпадают с точкой а  и lim и lim равны.

Пусть lim_n а_n =lim_n а_n =a  все частичные пределы совпадают с точкой а  каждая подпоследовательность имеет предел а, но каждая из этих последовательностей является подпоследовательностью данной последовательности  lim_n а_n=a.

2) ⁰ lim_n а_n=a Тогда верны два утверждения

a) >0 N=N(): a_n<a+, n>N()

b)  (n_k)_k=1^ - возрастающая подпоследовательность натуральных чисел: a-<a_nk , kN Условиями 1) и 2) верхний предел определен однозначно. Из 1) следует, что данный предел является наибольшим из частных пределов , а из 2) следует, что существует подпоследовательность, сходящаяся к а .

3) ⁰ (а)_n=1^ lim_n а_n =b, тогда одновременно выполняются 2 неравенства

a) >0 N=N(): b-= а_n , n>N()

b)  (n_k)_k=1^: a_nk <b+ kN

4) ⁰ lim_n а_n = lim_n sup_nk а_n

5) ⁰ lim_n а_n = lim_n inf_nk а_n

Предел функции.Определение предела по Коши.

Def.1 (Коши). Число А называется пределом функции f(x) f : ER точка а - предельная точка ER, если >0 =()>0: (xE и 0<|x-a|<)  lim _Exaf(x)=A(или f(x)A при Exa)

f(x)

A+

A

f(x)

A-

f

x

a- x a a-

Пример lim _x-0x*sin(x)=0; >0 =()>0; 0<|x-0|<= 

 0<|x|< ER; |x*sin(x)-0|= |x*sin(x)||x|  lim _x-0x*sin(x)=0

Def.2 Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий точку а.

U(a):=(,) <a<; Ů(a):=(,a)(a,) <a<; Ů(a)= U(a) \ {a}

U^±(a;E):= U^±(a)E ; U⁺(a):=(,), (>) - правосторонняя окрестность точки а ; U⁺(a):=(,), (>)- левосторонняя окрестность точки а.

Ů():=(-,)(,+) -<,<+ Ů(;E):= Ů()E

U⁺():=(-,)

Def. 1’ Число А называется пределом функции f:E R в точке а - предельной для ER , если

А U₂(A)  Ů_(a;E): x Ů(a;E)f(x) U₂(A) U_(A):=(A-,A+), >0

Ů_(a;E):=(a-,a)(a,a+)E >0

Последнее определение можно сформулировать короче, вспомнив, что такое образ множества. f : ER DE f(D)={f(x)R xR}

Def. 1’’ Число А называется пределом функции f:E R в точке а, предельной для ER, если 

U₂(A) Ů_(a;E): f(U_(a;E))U_(A). Поскольку в каждой окрестности точки расположены некоторые симметричные относительно этой точки окрестности, то по определению предела функции по Коши можно предать следующую форму:

Def. 2 (Топологическое определение предела) Число A называется пределом функции

f : ER в точке а, предельной для E, если  U(A) Ů(a;E): f(Ů(a;E))U(A)

Th.1 (теорема Гейне) Пусть задана f: ER и а-предельная точка множества Е

 lim _{E э ха}f(x) = A  [( (x_n)_n=1^ :E  x_n a (n), x_na,  n N)   lim _nf(x_n) = A]

 1) то, что (lim _{E э ха}f(x) = A)  (lim _nf(x_n) = A), сразу следует из определений. Действительно, если lim _{E э ха}f(x) = A, то для любой окрестности V(A) точки А найдется проколотая окрестность Ů (а) точки а в Е:x Ů_E(a) имеем f(x)  V(A).Если последовательноть {x_n} точек множества E\a сходится к а, то найдется номер N такой, что при n>N будет x_n  Ů_E(a) и, значит, f(x_n)  V(A).

На основании определения предела последовательности, таким образом, заключаем, что lim _nf(x_n) = A

2) В обратную сторону: если А не является пределом f(x), при Е  xa, то найдется окрестность V(A) такая, что при n  N в 1/n окрестности точки а найдется точка x_n  E\a, такая,

что f(x_n) V(A). Но это означает, что последовательность {f(x_n)} не сходится к А, хотя последовательность {x_n} стремиться к а.

Пример: Доказать, что  lim _x0(cos(1/x)) ; f: xcos(1/x) область определения E = R\{0}. Возьмем

Ů(0), начиная с некоторого номера туда попадут x_n =(1/(/2+2**n)) и попадут числа x^’_n=1/(2**n)  n > N ; cos (1/ x_n)=cos (/2+2**n) =cos (/2) =0 n>N ;

cos (1/ x^’_n)=cos(2**n)=1

(x_n)_n=1^ и (x^’_n) _n=1^по теореме Гейне  предела (поскольку (x_n)_n=1^ и (x^’_n) _n=1^ сходятся к точке 0)

Теорема Гейне устанавливает тесную взаимосвязь между понятием предела числовой последовательности и предела функции в точке. Имея в виду теорему Гейне понятие предела функции в точке можно сформулировать на языке числовых последовательностей.

Def. (по Гейне). Число А называется пределом f: ER в точке а-предельной для Е, если

(x_n)_n=1^: E  x_na (n), x_na, nN lim _nf(x_n)=A.

Тh.1 Если функция в точке а имеет предел, то он единственен.

Для числовой последовательности lim {x_n} – единственен  из теоремы Гейне вытекает , что lim функции в точке единственен 

Тh.2 Пусть заданы функции f: ER и : ER и пусть lim _{E э ха}f(x) = A и lim _{E э ха}(x) = В а-предельная точка для Е, тогда справедливы утверждения:

1) lim _{E э ха}(f(x)+(x)) = A+B

2) lim _{E э ха}(f(x)*(x)) = A*B

3) lim _{E э ха}(C*f(x)) = C*A

4) lim _{E э ха}(f(x)/(x)) = A/B

Доказательство немедленно следует из соответсвующих теорем для числовых

последовательностей и т. Гейне или определения по Гейне.

Предельный переход в неравенствах.

Тh.1 Пусть f: ER и : ER а- предельная точка для Е, если на некотором подмножестве Е₁Е а-предельная точка для Е₁, если f(x)  (x) xЕ₁ , то выполняется lim _{E э ха}f(x) lim _{E э ха}(x)

Доказательство следует из теоремы Гейне.

Тh.2 Пусть f: ER , u: ER , g: ER , Е₁Е а-предельная для Е₁ и пусть выполняется неравенство

f(x)g(x) u(x)  x  Е₁ , если lim_{E э ха}f(x)=lim_{E э ха}(x)=A, то lim_{E э ха}g(x)=A.

Доказательсво следует из теоремы о сжатой переменной и теоремы Гейне.

Односторонние пределы функции в точке.

Def.1 Число А f: ER называется пределом справа или правым пределом в точке а, предельной для Е, если  U (A)  U⁺ (a, E): f(U⁺ (a, E))  U(A) = lim _{E э ха+0}f(x) или А=f(a+0).

Def2. Число А f: ER называется пределом слева или левым пределом в точке а, предельной для Е, если  U (A)  U^- (a, E): f(U^- (a, E))  U(A) A= lim _{E э ха-0}f(x) или А=f(a-0).

Th. Для функции f: ER существуют правый и левый пределы, т.е. ( f(a+0) и  f(a-0)), когда

 lim _{E э ха}(f(x))=A  f(a+0)=f(a-0)=A. Доказательство сразу следует из определения.

Def. Пусть задана f: ER ( E  R) и А  Е. Колебанием функции на множестве А

называется число  (f; А) := sup_{x1, x2  А} |F(x₁)-F(x₂)|.

Примеры:

1) f: R  R f(x)=c=const  x  R  (f; А)=0  a  R.

2) f: R  R f(x)=x²  (f; [-1, 2])=4.

3) f: R\{0}R f(x)=sin(1\x);  (f; (-, +)=2,  >0.

Тh.1. (Критерий Коши) Пусть задана функция f: ER a-предельная точка для Е, тогда

 lim _{E э ха}f(x)>0 Ů(a):(f;Ů(a))< ( без доказательства).

Пример: Доказать, что не  lim _х0 sin(1\x)

  >0  (sin(1\x); (-, +)=2<   >0, <2 

Lem.1   (0;/2)  sin<<tg

 S_OAB=1/2*R²*sin ; S_OCB=1/2*R²*tg ; S_{сект. OAB}=1/2*R²* ;

S_{сект. OAB} /= (*R²)(2*) S_OAB< S_{сект. OAB} S_OCB

1/2*R²*sin<1/2*R²*<1/2*R²*tg

sin<<tg 

Lem.2

 lim _х0 cosx=1

|cosx-1|=1-cosx=2sin²(x/2) 0<|x/2|</2

Применив Lem.1 получим:

|sin(x/2)|*|sin(x/2)| 2*|sin(x/2)|=2sin|x/2|>2*|x|/2=|x|

0<=|x/2|</2  >0  =>0 0<|x|<=  |cosx-1|<|x|<= 

(по определению Коши)  lim _х0cosx=1 

Тh.1 (1-ый замечательный предел)

lim _х0 (sinx/x) = 1

f(x) = sinx/x – четная функция;  нам достаточно рассмотреть эту функцию при положительных х; 0<|x/2|</2; sinx<x<tgx; 1x/sinx1/cosx  cosx  sinx/x1; lim_х0(cosx)=1

 lim _х0 (sinx/x)=1

2-ой замечательный предел.

[x] = max(m: mx)=n mZ 0{x}:= x-[x]<1 x =[x]+{x}

Тh.1 (2-ой замечательный предел)

 lim _х (1+1/x)^x =e

1. Докажем, что lim _х+ (1+1/x)^x=e

e(1+1/([x]+1))^[x] (1+1/x)^x=(1+1/([x]+{x}))^[x]+{x}(1+1/[x])^[x]+1 e

lim _[x]+ (1+1/([x]+1))^[x] = lim _[x]+ [(1+1/([x]+1))^[x]+1 * (1+1/([x]+1))^-1 ]=e

 lim _х (1+1/x)^x =e 1

2. Докажем, что lim _х- (1+1/x)^x=e

e= lim _n+ (1+1/n) ⁿ = lim _t+ (1+1/(t-1)) ^t-1 = lim _t+ (1+1/(t-1)) ^t =

[u=t-1; u+  t + ; t=-x  x= - t; t + ; x - ]

=lim _t+ (t/(t-1)) ^t = lim _t+ (1-1/t) ^-t = lim _x+ (1+1/x)^x

правый и левый пределы в точке х=­  совпадают   lim _х (1+1/x)^x=e 

Следствия:

1. lim _t0 (1+t)^1/t=e, (из 2-го замечательного предела t=1/x)

2. lim _t0 (ln(1+t)/t)^1/t=1

 lim _х (1+1/x)^x =e

1=lne=ln [lim _х (1+1/x)^x]= lim _х [ln(1+1/x)^x]=

= lim _х x*ln(1+1/x)= lim _t0 (ln(1+t)/)t^1/t , t =1/x 

3. lim _t0 ((a^t-1)/t)=lna

 y= a^t- 1 , a^t=y+1 t*lna=ln (1+y) t=(ln(1+y)/lna)

t0  y0 lim _t0 ((a^t-1)/t)= lim _y0 ((y*lna)/ln(1+y))= lna

(т.к. y/ln(1+y)1) 

4. lim _t0 ((1+t)^-1)/t)=  lim _t0 ((1+t)^-1)/(t*))=1

 y= (1+t)^-1 (1+t)^=1+y ln(1+t)=ln(1+y)

(1+t)^-1)/t=y/t=y/t**ln(1+t)/ln(1+y)=*ln(1+t)/t * 1/(ln(1+y)/y) (t0) 

 1 1

Сравнение функций в точке.

Def.1 Пусть заданы две функции f:ER и g:ER эти функции называются эквивалентными в точке а, предельной для Е, если lim _Eэxa(f(x)/g(x))=1. Этот факт символически обозначается f(x)~g(x) (E  xa)

Свойства эквивалентности функций.

1) f~g (E  xa)  g~f (E  xa)

2) f~g (E  xa) и g~ (E  xa)  f~ (E  xa)

3) если f~g (E  xa)  f^~g^ (E  xa) ,    R

4) f~g (E  xa) и ~ (E  xa)  f*~g* (E  xa)

 3) lim _{E  xa} f(x)/g(x)=1; lim _{E  xa} [f(x)]^/ [g(x)]^= lim _{E  xa} (f(x) / g(x))^= 1^ =1 

f ^~g^ (E  xa)

Тh.2 f~ f₁ (E  xa) и ~₁ (E  xa)

1) lim _{E  xa} [f(x)]* [₁(x)] = lim _{E  xa} [f₁(x)] * [(x)]

2) lim _{E  xa} [f(x)]* [(x)] = lim _{E  xa} [f₁(x)] * [₁(x)]

3) lim _{E  xa} [f(x)]* [(x)] = lim _{E  xa} [f₁(x)] / [₁(x)]

 1) lim _{E  xa} f(x)*(x) =lim_{E  xa} [(f(x)/ f₁(x))* f₁(x)* (x)] = lim _{E  xa} [ f₁(x)* (x)] 

Def.1 Функция (х)=0, называется бесконечно малой в точке а, предельной для Е, если

lim _{E  xa} (x)=0

Тh.3 lim_{E  xa} f(x)=А  f(x)=A+(x), где (х)- функция, бесконечно малая в точке а.

Def,2 Функция : ER , называется бесконечно большой в точке а, предельной для Е, если

lim _{E  xa} (x)=0;  Ů(A): (x)=1/(x), где (х)-функция, бесконечно малая в точке а.

O-символика.

Def.1 Говорят, что функция f(x), определенная на множестве Е, мала по сравнению с g(x), определенной на множестве Е, если lim _{E  xa} f(x)/g(x)=0, где а-предельная точка для Е.

При этом используют символ f(x)=ō(g(x)) (xa).

Примеры:

1) x² = ō(x) (x0) lim_x0 x²/x= lim_x0 x=0  x²= ō(x) (x0) 

2) x²  ō(x) (xa, a0)  lim_x0 x²/x= lim_x0 x=0  x²=ō(x) (xa) 

Эти примеры показывают, что указание на точку, в которой одна функция есть ō-малое

от другой функции совершенно необходимо.

Пример: x=ō(x²) (x)  lim_x x/x² = lim_x 1/x=0  x= ō(x²) (x) 

Th.1 ō(g(x))=g(x)*ō(1) (xa) (ō(1)=(х)- функция, бесконечно малая в точке а).

f(x) := ō(g(x)) (xa)  (по Def.1) lim_xa f(x)/g(x)=0

f(x)/g(x)=: (х)- функция, бесконечно малая в точке а. (х)=o(1) (xa)

f(x)/g(x)=o(1) (xa)  o(g(x))=g(x)*o(1) (xa) 

Th.2 (Связь символов ~ и ō) f(x)~g(x) (xa)  f(x)=g(x)+ō(g(x))=(1+ō(1))*g(x) (xa)

 f(x)~g(x) (xa) lim_xa f(x)/g(x)=1  f(x)/g(x)=1+(x), где (х)- функция, бесконечно малая

в точке а; (x)=ō(1) (xa)  f()x/g(x)=1+ō(1) (xa)  f(x)=g(x)+ō(g(x)) (xa) 

Пример.1 lim_x0 (a^x -1)/x=lna  a^x -1~x*lna (x0) a^x -1=x*lna+ō(lna*x) (x0)

a^x=1+x*lna+ō(x) (x0)

Свойства символа ō.

Th.3 Справедливы следующие равенства (ассимтотические):

1) ō(C*g(x)) =ō(g(x)) ,  C 0 (xa)

2) ō(g(x))+ ō(g(x)) =ō(g(x)) , (xa) (здесь ō(g(x))-разные функции)

3)ō(1)*ō(1) =ō(1) (xa)

1)  f(x)=o(C*g(x)) (xa)  lim_xa f(x)/(C*g(x))=0  lim_xa f(x)/g(x)=0

 f(x)=o(g(x)) (xa)  o(c*g(x))=o(g(x)) (xa) Эта цепочка верна и в обратную сторону.

2)  f(x):= ō(g(x)) (xa) (x):= ō(g(x)) (xa)lim_xa (f(x)+(x))/g(x)= lim_xa f(x)/g(x)+

+lim_xa (x)/g(x)=0+0=0  f(x)+(x) = ō(g(x)) (xa)  ō(g(x))+ō(g(x))= ō(g(x)) (xa) 

3) Вытекает из определения бесконечно малой.

Символ О-большое.

Def.2 Говорят, что функция f(x), определенная на Е есть О от функции g(x).

Если  С(0, +) и  Ů(a) (а-предельная для Е-области определения

функции) : |f(x)/g(x)|=C  xŮ(a)-этот факт обозначают символом f(x)=O(g(x)) (xa);|f(x)c*|g(x)|  x Ů(a); g(x)1; |f(x)|c-этот факт означает ограниченность на множеесве Ů(a); Если g(x)1, то f(x)=O(1) (xa)

Th.4 O(g(x))=g(x)O(1)

 f(x):= O(g(x)) (xa) |f(x)/g(x)|=C xŮ(a); (x):=f(x)/g(x)=O(1) (xa)f(x)=g(x)*O(1)

O(g(x))=g(x)*O(1) (xa) O(g(x))=g(x)*O(1) (xa) 

Th.5 Справедливы следующие равенства:

1) O(g(x))+ō(g(x)) =O(g(x)) (xa)

2) O(g(x))+O(g(x) =O(g(x)) (xa)

3) ō(O(g(x))) = ō(g(x)) (xa)

Пример: O(x^+)=ō(x^) (x0) >0, >0

 f(x)=O(x^+) (x0) 0=|f(x)/g(x)|=C x Ů(0) 0=|f(x)/g(x)|=|x^|*C xŮ(0)

0

lim_xa |f(x)/x^|=0  lim_xa f(x)/x^=0  f(x)=ō(x^) (x0) O(xⁿ⁺¹)= ō(xⁿ) (x0) 

Формула, в одну часть которой входит символ О или ō, называется ассимтотической формулой.

Таблица эквивалентностей и ассимтотических формул.

1) siny~y (y0)  siny=y+ō(y) (y0)

2) tgy~y (y0)  tgy=y+ō(y) (y0)

3) 1-cosy~y²/2 (y0)  cosy=1- y²/2+ō(y²) (y0)

4) tgy-siny~y³/2 (y0)  tgy=siny+y³/2+ō(y³) (y0)

5) ln(1+y)~y (y0)  ln(1+y)=y+ō(y) (y0)

6) a^y-1~y*lna (y0)  a^y=1+y*lna+ō(y) (y0)

7) (1+y)^-1=*y (y0)  (1+y) ^=1+*y+ō(y) (y0)

Асимптотические формулы для e^x, cosx, sinx, ln(1+x), (1+y) ^

1) e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+…+xⁿ/n! +O(xⁿ⁺¹)  nN

2) sinx=1-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…+(-1)^k+1*x^2k+1/(2k+1)! +O(x^2k+2) (x0)  k=0, 1, 2, …

3) sinx=1-x²/2!+x⁶/6!-x⁸/8!+…+(-1) ^k*x^2k/(2k)! +O(x^2k+2) (x0)  k=0, 1, 2, …

4) ln(1+x)= 1-x/1+x²/2+x³/3-…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n! +O(xⁿ⁺¹)  nN

5) (1+y)^= 1+*x/1!+*(-1)*x²/2!+…+*(-1)*(-2)*…*(-n+1)*xⁿ/n! +O(xⁿ⁺¹) (x0)  nN

O(x^m+1)=ō(x^m) (x0)

Def.1 Пусть задана функция f:ER и точка аЕ, а–предельная точка для Е

Функция f называется непрерывной в точке а, если lim_Eэхаf(х)=f(а)

f непрерывна в точке а   U(f(а))  U(a;E): f(U(a;E))U(f(a))

lim_Eэхах=а lim_Eэхаf(х)=f(lim_Eэхах)

Пример f(x)=ln(x) E=(0;)^f R=(-;+)

U(ln(a))=(c;d) a(e^c;e^d)=U(a;E) e^c<x<e^d  c<ln(x)<d f(U(a;E))(c;d)=U(ln(a))

 (x)=ln(x) – непрерывна в точке а.

Th.1 (о непрерывности сложной функции)

g:EIR f: IR

Пусть g(x) непрерывна в точке а, предельной точке Е. f(y) непрерывна в в точке b=g(а)I, b предельная для множества I. Тогда f(g(x)) – непрерывна в точке а.

lim_Eэхаg(x)=g(a) g(x)g(a)=b, когда ха lim_Iэybf(x)=f(b)=f(g(a)) y=g(x) ybg(x) b(xa) f(g(a))= lim_Iэybf(x)= lim_Eэхаf(g(x))

Def.2 f:ЕR называется непрерывной на множестве АЕ, если эта функция непрерывна в

каждой точке множества А.

Множество вех функций, непрерывных на множестве А обозначается С(А).

fC(A)- функця f непрерывна на множестве А

Def.3 Если в точке а функция f не является непрерывной, то говорят, что точка а является

точкой разрыва, и функция f- разрывна в точке а.