Лекция 25. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Производные высших порядков. Формула Тейлора. Разложение функций по формуле Тейлора.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ролля: ( теорема о корнях производной )

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль f(a)=f(b)=0, то существует внутри отрезка по крайней мере одна точка x=с, a<c<b , в которой производной обращается в нуль, т.е. .

( см. рис.1 )

Геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ох в точках с абсциссами a и b, то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка с абсциссой с, , в которой касательная параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа: ( теорема о конечных приложениях )

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка с, a<c<b, что . ( см. рис.2 )

Геометрическое истолкование: если во всех точках дуги AB существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.

Теорема Коши: ( теорема об отношении приращений двух функций )

Если f(x) и - две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемых внутри него, причем нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка с, a<c<b, что .

Производные высших порядков.

Пусть – некоторая заданная функция, а – ее производная. Тогда – производная второго порядка от функции y. Применяют и другие обозначения этой производной:

(1)

Далее,

(2)

– производная третьего порядка от функции y. И т.д. Кстати, обычную производную часто называют производной первого порядка.

Пример 1. ;

Решение. Сначала найдем и , а затем найдем и :

; ; .

Пример 2. Функция задана неявно уравнением . Найти .

Решение. Сначала найдем :

.

Теперь найдем и :

Пример 3. Функция задана параметрически:

Найти .

Решение. Сначала найдем : . А теперь найдем :

.

Физический смысл производной второго порядка.

Если – уравнение движения точки по ее траектории, то, как мы знаем, ее производная (производная первого порядка) представляет собой скорость v(x) движения точки (мгновенную скорость движения) . Но тогда производная второго порядка будет иметь смысл «скорость изменения скорости» движения точки. В физике такая величина называется ускорением. Поэтому

(3)

– ускорение движения точки в момент x. В этом и состоит физический смысл производной второго порядка.

Пример 4. Как известно, уравнение движения свободно падающего в безвоздушном пространстве тела, начавшего свое падение в момент , имеет вид: (s – путь, пройденный падающим телом за время t). Найдем скорость и ускорение падающего тела:

;

.

То есть ускорение a падающего тела неизменно и равно g – ускорению свободного падения ( м/сек²). А скорость v падающего тела возрастает пропорционально времени по формуле .

Упражнения

1. Найти угол наклона к оси ох касательной, проведенной к параболе в точке .

Ответ: .

2. Найти на параболе такую точку , чтобы касательная к параболе, проведенная в этой точке, составила с осью ох угол .

Ответ: .

3. В момент времени найти скорость v и ускорение a точки, движущейся по оси ох по закону .

Ответ: ; .

4. Найти производную функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

5. Найти производную функций:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) ; б) ; в) .

Правило Лопиталя вычисления пределов.

Это правило состоит в следующем. Если требуется найти предел вида

, (4)

где x₀ – число или символ , и этот предел приводит к неопределенности вида или , то

, (5)

Словесная формулировка правила Лопиталя (5) такова: предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует.

Доказательство. Исчерпывающее доказательство правила Лопиталя довольно громоздко. В связи с этим ограничимся рассмотрением случая, когда предел (4) приводит к неопределенности вида :

; ; . (6)

При этом будем считать, что x₀ – некоторое конечное число.

Если функции и непрерывны в точке x₀, то в силу определения непрерывности функций верны следующие равенства и . Если же эти функции в точке x₀ разрывны, то их значения при x₀ не равны нулю (у них другие значения или они там вообще не определены). Тогда переопределим (или доопределим) их в точке x₀ так, чтобы стало и . После этого, в силу того же определения непрерывности функций, функции и станут непрерывными в точке x₀. Далее, будем считать, что обе эти функции будут непрерывно дифференцируемыми в окрестности точки х₀, включая саму точку х₀, причем . Тогда получим:

Примечание. Предел отношения производных, стоящий в правой части равенства (5), тоже может приводить к неопределенности вида или . Тогда правило Лопиталя можно применить и к нему. То есть применить это правило повторно.

Пример 5.

.

Пример 6.

Пример 7.

.

Пример 8.

.

Последние два примера показывают, что при растет несравненно медленнее, чем x, а – несравненно быстрее, чем при любом значении n.

Пример 9.

Пример 10. .

Для вычисления этого предела введем обозначение: . Тогда . Учитывая, что , находим:

Итак, . То есть при и , а значит, , ибо . Таким образом, , а значит, .

Упражнения

1. С помощью правила Лопиталя найти пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) 2; д) .

2. С помощью правила Лопиталя доказать второй замечательный предел:

.

3. С помощью правила Лопиталя доказать, что при и любом n

.

Дифференциалы высших порядков.

Найдя дифференциал dy данной функции , можем затем найти дифференциал от этого дифференциала. Тем самым получим так называемый дифференциал второго порядка данной функции :

.

Итак, если – некоторая дважды дифференцируемая функция, то ее дифференциал второго порядка (дэ два игрек) находится по формуле:

(7)

Отсюда, кстати, получаем:

, где (8)

Тем самым находит свое оправдание обозначение Лейбница (1) для производной второго порядка функции . Аналогично получает оправдание и обозначение (2) для производной третьего порядка, которая выражается через дифференциал (дэ три игрек) третьего порядка

, откуда , (9)

и т.д.

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Дифференциал dy функции y (дифференциал первого порядка), как показано выше, имеет инвариантную (неизменную) форму независимо от того, является ли аргумент x функции y независимой переменной или, наоборот, сам является функцией от другой переменной. А вот для дифференциалов высших порядков (, , …) эта инвариантность места не имеет.

Действительно, пусть – сложная функция от t. Тогда, согласно инвариантности формы первого дифференциала dy, имеем:

.

А вот

(10)

Действительно,