Вопросы для самоконтроля :
-
Опишите статус понятия множества в математике и в диалектике.
-
Два смысла понятия "единство": дескриптивное и логическое.
-
Разберите два-три известных вам парадокса в основаниях теории множеств и докажите на основе их анализа тезис: "универсум не есть множество".
-
Понятие континуума и три взгляда на природу континуума.
-
В чем смысл континуум-гипотезы Кантора?
-
Почему и в каком смысле "континуум не есть множество".
-
Разъясните гносеологическое содержание теорем Геделя о неполноте формализованных систем.
-
Разъясните связь между 1-й и 2-й проблемами Гильберта (между проблемой доказательства континуум-гипотезы Кантора и доказательством непротиворечивости формализованной арифметики).
-
В чем суть идеи реляционного холизма?
-
1 Ушаков Д. Н. Толковый словарь русского языка. - М., 1934, Т. 1.
2 Их еще называют ординалами (от латинского ordinalis - порядковый).
3 Брадвардин Т. - средневековый английский математик и философ.
4 Шкала алефов - это бесконечная последовательность кардинальных чисел, обозначающих мощности бесконечных множеств. Самое маленькое из них обозначает счетную мощность множества натуральных чисел.
5 Вспомним гегелевское замечание о пространственно-временном континууме: "Ни непрерывность, ни точечность сами по себе по себе нельзя полагать в качестве их сущности".
6 “Experimentum Crucis” - (лат.) - решающий эксперимент (буквально: крестовый эксперимент).
7 П. Коэн имеет в виду представление континуума как множества всех подмножеств счетного
множества. С этой точки зрения мощность континуума С равна: С =2А0, где А0 - счетная мощность. Этот способ представления континуума ведет к так называемой обобщенной континуум-гипотезе: является ли мощность множества всех подмножеств счетного множества непосредственно следующей за счетной.
8 Аксиома подстановки, предложенная А.Френкелем, формулируется так: "если каждый элемент множества М заменить некоторым множеством, то в результате снова получится множество". По-видимому, П. Коэн хотел здесь указать, что обычные представления о возможности описания континуума как множества предполагают возможность экстенсивного конструирования множества произвольной мощности, смутно отождествляемую с этой аксиомой.
9 Аликвотные части – части, на которые целое делится без остатка.