2. Континуум-проблема.

Понятие "континуум" имеет огромное общенаучное и философское значение. В качестве математического термина в теории множеств и функций это понятие используется для обозначения определенной, а именно большей счетной мощности множества (например, мощность мно­жества всех точек на прямой, мощность всех действительных чисел и т. п.). Однако в настоящей работе это понятие будет рассматриваться в его более употребительном и в подлинном смысле общенаучном значе­нии – как наименование непрерывных образований. Ведь именно непрерывность является общей наиболее характерной чертой различных объек­тов, обозначаемых в математике, физике, естествознании и философии с помощью этого термина. В то же время свойство непрерывности конти­нуума является источником глубоких философских и логических проблем. Непрерывность как весьма общая черта реальности (непрерывность дви­жения, пространства, времени и т. д.) издавна привлекала внимание многих мыслителей, которые часто были вынуждены констатировать чрез­вычайную сложность этого понятия, а также внутреннюю противоречивость отношения прерывности и непрерывности в свойствах движения, простран­ства, времени и материи. Для выражения диалектической сущности понятий пространства и времени Гегель использует противоположные поня­тия, взятые в единстве: бесконечная непрерывность (Kontinuitat) и "пунктуальность" (= отрицание непрерывности, прерывность). Тут же подчеркивает: "ни непрерывность, ни точечность сами по себе нельзя полагать в качестве ... сущности" понятий пространства и времени.

Следовательно, в философском языке это пара взаимно противопо­ложных и отрицающих одна другую категорий – непрерывность и "точечность" – должна одновременно привлекаться для отражения диалектической сущности континуума. Это положение о диалектической природе континуума и своеобразном единстве противоположных свойств его позволяет понять философский аспект истории развития представлений о континууме в науке и в частности проследить роль идеи целостности в его понимании.

а) Головоломки Зенона Элейского

У истоков исключительной по своему драматизму и богатству содержания проблемы континуума в современной науке мы видим легендарную фигуру Зенона из Элеи. Этот, приемный сын и любимый ученик Парменида – признанного главы элейской школы в античной философии – первым продемонстрировал то, что 25 веков спустя было названо неразрешимостью континуум-проблемы. Само название знаменитого изобретения Зенона – апория, можно так и пере­вести с древнегреческого: неразрешимое (буквально: не имеющее вы­хода, безысходное).

Зенон является автором свыше сорока апорий, неких фундамен­тальных трудностей, которые по его замыслу должны были подтвердить правильность учения Парменида о бытии мира как единого и ко­торые он умел находить на каждом шагу, критикуя обычные чисто множественные представления о мире.

Приведем одну из таких апорий, авторство которой приписывают самому Пармениду. Эта апория в определенной мере перекликается с рассмотренными выше парадоксами в основаниях теории множеств, в ней непосредственно критикуются чисто множественные представлениям о бытии. Поэтому ее иногда характеризуют как “одно из наиболее замечательных возражений против множественности". Вот ее содержа­ние: "Если сущее множественно, то оно одновременно должно быть большим и малым, и притом большим до безграничности и малым до исчезновения".

Современную трактовку этой апории мы находим в исследованиях по истории математики в таком виде:

Пусть отрезок есть бесконечное множество "неделимых" частей; если величина отдельных “неделимых" равна нулю (т. е. "неделимые" – это точки), то и величина всего отрезка есть нуль. Если же каждое "неделимое" имеет некоторую величину (неявно предполагается, что эта величина для всех неделимых одинакова), то величина отрезка будет бесконечной.

С точки зрения современной математики эта апория показывает, что нельзя определить меру отрезка как сумму мер неделимых, что понятие "меры" множества более не является чем-то очевидно заключенным в самом понятии множества, и что мера множества, вообще говоря, не равна сумме мер его элементов. Поэтому эту апорию, очевидно направленную против односторонне множественного истолкования мира, иногда также называют "апорией меры". Если угодно, в этой апории предвосхищена та логическая трудность, которая и сегодня вынуждает вводить меру множества чисто аксиоматически. Действительно, в нас­тоящее время мера множества определяется при помощи покрытий его системами интервалов, причем принимается, что интервалы уже имеют определенную длину (меру).

Но самыми знаменитыми из апорий Зенона являются четыре: "Ди­хотомия", "Ахиллес и черепаха", "Стадион" и "Летящая стрела", кото­рые иногда не совсем точно называют апориями против движения. На самом деле в этих апориях речь идет о структуре пространственно-временного континуума. По-видимому Зенон хотел показать с их по­мощью иллюзорность чисто множественного истолкования структуры пространства и времени, подтверждая тем самым и здесь истинность учения Парменида о бытии мира как единого.

Вначале Зенон исходят из обычных представлений о непрерывности пространства, времени и движения и о возможности бесконечного деления любого пространственного или временного отрезка. Первая апория так и называется – "Дихотомия", что в переводе с древнегреческого означает "деление надвое". Пусть имеется геометрический отрезок (А, В):

и движущееся тело переходит из точки А в точку В. В силу принятой гипотезы о непрерывности движущееся тело, прежде чем достичь точки В должно побывать в точке С, делящей отрезок АВ пополам, но еще раньше в точке С’, делящей пополам половину отрезка АВ, т. е. отрезок АС, но еще раньше в точке С’’, делящей пополам половину половины исходного отрезка, и т. д. Возникает ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... Этот ряд является очевидно сходящимся и стремится к 1 как своему пределу. Античные математики и Зенон вместе с ними еще не знали этого. Дело однако, в том, что представление о сходимости этого ряда вовсе не снимает трудности, на которую указывает Зенон . Проблема состоит в следующем: раз мы приняли идею непрерывности пространства, движущееся тело каким-то образом оказывается способным перебрать (или "просуммировать") за конечное время актуально возникающую здесь бесконечную совокупность актуально существующих элементов такого ряда пусть и закономерно убывающих в своей величине и сходящихся к конечному пределу. Принятие гипотезы непрерывности пространства рождает актуально бесконечную совокупность половинных отрезков каждой новой половины, возникающих в бесконечном делении (дихотомии) исходного отрезка АВ, так что движущееся тело, занятое бесконечным перебором возникающих здесь отрезков, не может преодолеть и наималейшее расстояние и, строго говоря, не может начать движение. Отсюда и знаменитый вывод: движения нет. Аналогичный смысл несет и вторая апория "Ахиллес и черепаха”.

В ней победитель олимпийских игр быстроногий Ахиллес вступает в состязание с медлительной черепахой, которая однако в момент старта находится впереди Ахиллеса на некотором расстоянии АВ. Пока Ахиллес преодолеет половину исходного расстояния, разделявшего его и черепаху в момент старта, черепаха, разумеется, уползет на не­которое расстояние АВ вперед. Пока Ахиллес преодолеет половину нового расстояния, разделяющего его и черепаху, черепаха снова уползет вперед на некоторое новое расстояние и т. д. В силу принятой гипотезы бесконечной делимости (непрерывности) пространства и вре­мени ситуация в точности воспроизводится бесконечное число раз и каждый раз пока Ахиллес пробегает половину нового расстояния, раз­деляющего его и черепаху, черепаха хоть и на немного, но все же уползает вперед. Получается поразительный вывод: быстроногий Ахиллес не в состоянии не то что обогнать, но даже догнать медлительную черепаху? Что же отсюда следует? Очевидно необходимо отказаться от преставления о бесконечной делимости (непрерывности) пространства и времени. Это означает, что существуют некоторые наименьшие, "атомарные" элементы пространственной протяженности и временной длительности, так называемые "неделимые", дальше которых делимость уже невозможна, и указанные Зеноном трудности очевидным образом легко снимаются. Зенон, по-видимому, действительно стремился на­вязать своему собеседнику с помощью апорий "Дихотомия" и "Ахиллес и черепаха" вывод об отказе от гипотезы о непрерывности и тем самым обосновать переход к концепции "неделимых" – концепции дис­кретной структуры пространства и времени.

Но достижение этой цели составляло только половину стратеги­ческого замысла Зенона. Ибо Зенон, которого уже его современники прозвали "двуязычным", тут же ставил своего собеседникам снова в тупик, едва тот соглашался с навязанным ему выводом о неделимых и дискретной структуре пространства и времени.

А именно теперь Зенон, отправляясь от принятой концепции неделимых предлагал рассмотреть следующие две задачи, сформулированные в апории "Стадион" и "Летящая стрела". Не было ничего необычного в том, чтобы античным грекам, большим любителям спорта и физической культуры предложить проследить движение трех колонн спортсменов на стадионе, но теперь уже с позиции концепции неделимых, т. е. признания дискретной структуры пространства и времени, умело внушенной Зеноном с помощью первых двух апорий. Пусть в момент старта все три колонны покоятся, причем каждый спортсмен как бы помещен в соответствующую ему неделимую ячейку пространственной протяженности. Графически это можно изобразить так:

Теперь Зенон предлагает рассмотреть следующую ситуацию. Пусть средняя колонна покоится, а две крайние (на рисунке верхняя и нижняя) начинают одновременное движение в противоположных направлениях. С позиций принятой концепции неделимых это означает, что верхняя и нижняя колонны за одно временное неделимое смещается по отношению к средней неподвижной колонне на одно пространственное неделимое:

Однако, продолжает Зенон, посмотрим теперь на взаимное движение верхней и нижней колонн но отношению друг к другу. Оказывается за одно временное неделимое они сместятся друг по отношению к другу на два пространственных неделимых. Значит неделимое разделится! (Неделимое разделится самим фактом смещения по его истечению на два пространственных не­делимых). Но это противоречит выводу из первых двух апорий о существовании неделимых!

Далее в апории "Летящая стрела" Зенон показывает как может быть разделено и пространственное неделимое.

Рассмотрим движение летящей стрелы с точки зрения принятой дискретной структуры пространства, состоящего из неделимых:

Летящая стрела, будучи выпущенной из лука, конечно летит в прос­транстве нашего повседневного опыта, но летит ли она по отношению к элементарному отрезку пространственного неделимого? Если да, то тогда самим фактом своего движения в пределах неделимого летящая стрела разделит его (на ней всегда можно нанести метку и при движении стрелы разные положения меток в пределах неделимого пространственного отрезка разделят его). Но это вновь противоречит принятой концепции неделимых. Чтобы сохранить верность концепции неделимых остается признать, что летящая стрела покоится в каждом из неделимых. Но тогда, как возможно вообще движение? Ведь сумма моментов покоя (в каждом из неделимых) ничего не даст, кроме по­коя: ( для всего пространства в целом), подобно тому, как сумма нулей ничего не дает кроме нуля. И снова напрашивается уже известный вывод: движения нет.

"Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал, и стал пред ним ходить,

Сильнее бы не мог он возразить".

(А. С. Пушкнн)

Поэт хочет сказать здесь, что безукоризненные в логическом отношении выводы из апорий Зенона очевидным образом вступают в противоречие с чувственным фактом движения. Гегель в своих "Лекциях по истории философии" рассказывает анекдот, согласно которому Зенон, изложив выше рассмотренные четыре апории, начинал молча ходить перед своими учениками, тем самым наглядно опровергая вытекающий из них вывод о невозможности движения. Когда же ученики, на­конец, удовлетворялись таким способом опровержения его апорий, Зенон брал стоявшую в углу комнаты большую палку и начинал ею колотить их, приговаривая, что тот, кто довольствуется чувственными доказательствами, должен получить и столь же чувственные возражения. Прибегал ли Зенон на самом деле к столь крайним мерам внушения различия между чувственным и логическим, мы не знаем, но до­подлинно известно, что именно элеаты и прежде всего Парменид и Зенон впервые на заре европейской философии четко отделили чувственное познание от логического и тем самым сделали возможной саму европейскую науку.

Как пишет коллектив авторов, известных под именем Николя Бурбаки, если греческие философы VII и VI веков еще только утверждают или прорицают на манер восточных мыслителей, то "начиная с Парменида и особенно Зенона, они уже аргументируют, пытаясь выделить общие положения, чтобы положить их в основу своей диалектики: именно у Парменида мы впервые находим формулировку принципа ис­ключенного третьего, а доказательства Зенона Элейского путем приведения к абсурду знамениты и сейчас" (8).

Действительно, в основе европейской науки лежит идея логического обоснования и доказательства, сама возможность и необходимость которого была впервые вполне осознана и воспета Парменидом в его знаменитой поэме "О природе". В этой поэме Парменид впервые в истории европейской мысли – и это был качественно новый и существенный шаг вперед по сравнению с древневосточной философией – отделил чувственное познание от логического. При этом чувственное знание он расценил как "мнение", поверхностное и ложное, а единственно истинным признавал лишь знание "второго пути" – логическое. Тем самым Парменид открыл дорогу к тому грандиозному явлению, которое сегодня известно как европейская наука. Без Парменида и Зенона невозможны были бы Евклид и Архимед. Вот почему истинным отцом учения о Логосе следует считать Парменида, хотя он почти никогда не пользуется этим термином.

Вместе с тем Пармениду принадлежит также формулировка важнейших принципов логического познания, лежащих в основе языка современной науки:

1) ничто не возникает из ничего;

2) метод доказательства от противного;

3) доказательство путем приведения к абсурду ;

4) открытие закона исключенного третьего;

5) открытие закона тождества;

6) открытие закона непротиворечия.

Как видим, у М. Хайдеггера были все основания дать уникальную характеристику учению Парменида. По его мнению, атомная бомба впер­вые взорвалась в поэме Парменида "О природе". Поэма Парменида "О природе" – это источник того пути, который закономерно привел к современной науке.

Диалектика Парменида и Зенона во многом актуальна и сейчас. О глубине и фундаментальности проблемы соотношения непрерывного и дискретного в свойствах пространства и движения, столь ярко поставленной Зеноном, свидетельствует и сегодня неослабевающий интерес к его апориям. Нередко сама суть апорий воспроизводится собственным развитием науки. Так логическая структура затруднения, вскрытая в рассмотренных четырех апориях Зенона, в точности воспроизводится в релятивистской электродинамике в вопросе об энергии и массе электрона. Энергия и масса электрона определяются его взаимодействием через посредство виртуальных фотонов с полем. В слу­чае приписывания электрону точечного размера его энергия и масса становятся бесконечными, так как в соответствующих интегралах появляются виртуальные фотоны, испускаемые и поглощаемые электро­ном в процессе взаимодействия с полем на сколь угодно малые рас­стояния и обладающие сколь угодно большой частотой (а значит и энергией). Отсюда необходимость введения конечного радиуса электрона, что снимает эту трудность. Однако с релятивистской точки зре­ния трудно приписать электрону некоторое конечное и наименьшее значение его радиуса, так как всегда можно указать такую систему отсчета, в которой электрон может двигаться со скоростью настолько большой, что указанное значение его радиуса уменьшится, по край­ней мере вдвое (аналог зеноновской дихотомии).

Другим примером современной версии зеноновской тематики мо­жет быть популярный на страницах физических журналов наших дней так называемый квантовый парадокс Зенона . Суть его состоит в том, что при рассмотрении поведения нестабильного изолированного квантового объекта, находящегося под непрерывным наблюдением, вероятность нераспада (т.е. вероятность "выживания" этого объекта) устремляется к единице при стягивании к нулю интервалов временных отрезков между актами наблюдения (т.е. именно при достижении непрерывности наблюдения). Логическая струк­тура возникающего здесь затруднения соответствует апориям "Дихотомия" или "Ахиллес и черепаха", хотя в литературе не совсем точно этот квантовый парадокс отождествляют с апорией "Летящая стрела".

В целом в последующем поставленная Зеноном дилемма прерывного и непрерывного в свойствах пространства и времени, вылилась в самостоятельную проблему, четко определившуюся в основаниях современной науки в форме так называемой континуум-проблемы. Проследим ее становление и суть.

b) Три взгляда на континуум.

В истории науки четко прослеживаются три основные концепции в истолковании природы континуума.

1. Континуум, интегрируемый из неделимых. Основоположник атомистической концепции материи Демокрит пришел к своеобразному математическому атомизму, когда предположил, что наряду с физическими атомами существуют также и сверхчувственно малые материальные точки – “амеры”, которые он рассматривал как атомы пространства. Суммирование двух или больше точек-амеров позволило Демокриту построить линию, суммирование линий – плоскость, а суммирование плоскостей – тело и, прежде всего, физический минимум материи, атом, который отличается уже своей физической неделимостью. Учение Демокрита имело огромное значение для дальнейшего развития науки, особенно математики.

Из идей математического атомизма Демокрита возникли понятия дифференциала и суммы бесконечно малых в классической математике. Воззрения Кеплера и Кавальери, которые являются родоначальниками современного метода бесконечно малых, представляют собой именно математический атомизм. Кавальери, например, считал вполне естественным, что плоские фигуры мы должны представлять себе из ткани, сотканной из параллельных друг другу ниток, а тела в виде книг, состоящих из наложенных друг на друга и параллельных листов .

Таким образом, античный атомизм, согласно которому континуум сос­тавлен из неделимых, выступает в качестве непосредственного источ­ника одного из ведущих разделов современной математики.

2. Континуум, интегрируемый из бесконечно делимых частей. Согласно этой концепции, континуум также рассматривается как нечто составное и множественное по своей природе, однако образованное из частей неограниченно (бесконечно) делимых. Таких взглядов придержи­вались, например, Аристотель и Аверроэс. По мнению Аристотеля, допу­щение Демокрита о существовании наименьших и далее неделимых частей противоречит математике и подрывает ее важнейшие устои, ибо это до­пущение делает невозможным движение и точное деление линии на две части. В трактате "О неделимых линиях" Аристотель замечал: если разделить линию на две части, которые вновь делимы и т.д., то непре­менно должен быть делимым и сам атом. Он настаивает на бесконечной делимости, близкой по своему смыслу представлениям, выраженным в известной аксиоме Евдокса-Архимеда: для двух произвольных отрезков а и в существует такое натуральное число n, что произведение дли­ны меньшего из отрезков а на число n превысит длину большего отрез­ка в: nа > в.

3. Континуум как неделимое целое. Существует, однако, третья, наиболее интересная точка зрения, согласно которой составность кон­тинуума из неделимых или бесконечно делимых частей в равной степе­ни считались недопустимой и отрицалась. Так, Брадвардин³ в тракта­те "О континууме" отрицал какую-либо составность континуума. Он дал детальное обоснование невозможности существования в континууме обособленных или выделенных частей и при этом исходил из мысли о невозможности возникновения и уничтожения "первоматерии" или "пер­вой субстанции". Сущность этой точки зрения на континуум состоит в признании конечной неделимости и неразложимости его на множества каких-либо элементов. Она перекликается с элейской концепцией и явилась основой развития представлений о континууме как о чистой бесточечной и бесструктурной протяженности в Новое время.

c) Континуум – проблема в теории множеств

В новое время точка зрения на континуум как на чистую бесточечную непрерывность была преобладающей. Создание и обоснование строгой теории пределов в работах Коши, Дедекинда, Вейерштрасса способствовало укреплению концепции континуума как чистой непрерывности, в которой можно лишь фиксировать выделяемые с помощью специ­альных методов отдельные точки, но которая сама по себе лишена ка­ких-либо черт составности и не распадается исчерпывающим образом на точки-индивидуумы. "До появления работ Кантора, с которого на­чинается перевод всех основных понятий математики на язык множеств, большинство математиков, чтобы не сказать все , именно и мыслили континуум как чистую бесточечную протяженность", – пишет Н.Н. Лузин (15, с. 32).

Однако в ходе создания теории множеств Кантор восстановил идею составности континуума в очень четкой форме строго точечной его концепции. Точка зрения Кантора на природу континуума явилась ре­зультатом полной арифметизации континуума в теории множеств, ког­да удалось показать, что каждой точке геометрического континуума соответствует определенное вещественное число.

На основании этой чисто множественной концепции континуума (множеству точек геометрического отрезка соответствует множест­во вещественных чисел соответствующего интервала) Кантор выска­зал свою знаменитую континуум-гипотезу: мощность множества точек (или соответствующих им вещественных чисел) на отрезке является первой следующей за счетной, т.е. вполне определенной на алефической шкале⁴, образованной мощностями трансфинитных классов чисел. Таким образом, к началу XX в. произошел знаменательный поворот к составной концепции континуума, и доказательство гипотезы Кантора, очевидно, представляло бы окончательное подтверждение составной чисто множест­венной концепции континуума. Как замечает Н.Н. Лузин, "мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность и она находится на алефической шкале там, где она есть" (15, с. 32) .

Если в разработке дифференциального и интегрального исчисления континуум, который мыслится тогда как "чистая непрерывность" был лишь средством построения теории, то в теории множеств Кантора проб­лема континуума предстала в качестве одной из основных ее целей. И это не случайно, ибо теперь континуум-проблема была сформулирована с помощью четких теоретико-множественных представлений, а главное – несла в себе решающее испытание наивной теории множеств, претендо­вавшей в своей первоначальной форме на исчерпывающе множественное описание реальности: все есть множества. Но именно континуум явил­ся первым объектом, теоретико-множественное истолкование которого вызвало сомнения. И эти сомнения в возможности его строгого совер­шенно однозначного представления в теоретико-множественном языке в случае их подтверждения неизбежно должны были привести к осознанию гносеологической относительности теоретико-множественного подхода в целом (а значит – и относительности и неуниверсальности понятия множества). Другим источником подобных сомнений могли быть, как мы видели, парадоксы в основаниях теории множеств. Однако отрезвляющее влияние парадоксов теории множеств и появление под их воздействием аксиома­тических построений теории множеств было еще делом будущего. Поэтому можно понять Кантора, который сформулировал континуум-гипотезу в 1878 г. и потратил все остальные годы жизни в поисках ее доказательст­ва. Об исключительной важности континуум-гипотезы свидетельствует и тот факт, что в знаменитых проблемах, перечисленных Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в 1900 г., континуум-гипотеза была названа первой. Эта проблема сконцентрировала в себе один из наиболее сложных и запутанных вопросов – вопрос о взаимосвязи дискретного и непрерывного, на разрешение которого уже было потрачено столько сил на протяжении длительного времени. Преодоление пропа­сти между областью дискретного и областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных – пожалуй, даже самая главная – проблема оснований математики. Кантор, коль скоро он претендовал на построение "классического" анализа, претендовал тем самым и на преодоление этой пропасти .

d) Неразрешимость континуум-гипотезы

В поисках доказательства континуум-гипотезы можно выделить два этапа. Первый связан с именами Г.Кантора, И.Кенига, Д.Гильберта и характерен тем, что поиски ее доказательства не выходили за преде­лы наивной теории множеств. Континуум-гипотезу пытались доказать те­ми средствами, которые представляла созданная Кантором теория мно­жеств. Второй этап начался с аксиоматизации теории множеств и выдви­нутой Э.Цермело знаменитой аксиомы свободного выбора. На этом этапе существенных результатов достигли К. Гедель (Австрия) и П. Коэн (США).

Первый шаг, сделанный Кантором на пути доказательства континуум-гипотезы, состоял в следующем. Ему удалось сформулировать теорему о том, что если бесконечные линейные множества, т.е. множества действительных чисел, разбить на классы не эквивалентных друг другу множеств, то число таких классов будет не только конечным, но и равным двум. Другими словами, он высказал мысль, что не существует счетных множеств действительных чисел эквивалентных множеству всех действительных чисел. Именно эта мысль дала возможность четко сформулировать гипотезу континуума: мощность континуума есть первая несчетная мощность, т.е. С=А1, здесь С – мощность континуума. В своих работах "Основы общего учения о многообразиях" и "К обоснованию учения о трансфинитных множествах" Кантор разрабатывал теорию вполне упорядоченных множеств. Понятия вполне упорядоченного множества и взаимно однозначного соответствия он считал основопо­лагающими в решении поставленной им проблемы о мощности континуума. Множество называется упорядоченным, если для любых двух его элементов выполняется требование: а > b или a < b и при этом свойство порядка транзитивно: если a > b и b > c, то и a > c. Множество будет вполне упорядоченным, если потребовать дополните­льно:

1) никакой элемент не следует за самим собой

2) в любом подмножестве имеется первый элемент. Отсюда видно, что множество натуральных чисел вполне упорядоченно, а множество вещественных чисел лишь упорядоченно.

Больше того, по своему построению все числовые классы оказы­ваются вполне упорядоченными, а числовая прямая является лишь упоря­доченным множеством. Проблема континуума сводилась к сравнению пер­вого числового класса (т.е. множества действительных чисел, соот­ветствующих всем точкам прямой) и созданного Кантором второго числового класса – множества всех порядковых чисел, обозначающих различ­ные типы упорядочения счетного множества натуральных чисел. Отсюда вытекает, что если возможно осуществить подобное, т.е. взаимно однозначное, сохраняющее порядок, отображение второго (т.е. первого трансфинитного числового класса на числовую прямую (или на какое-либо ее подмножество), то проблема континуума будет полностью решена (Ранее Кантор доказал, что мощность первого трансфинитного класса и мощность множества всех ординалов, обозначающих различные типы упорядочения счетного множества натуральных чисел) больше счетной и равна первому алефу А1).

Кантору не удалось найти взаимно однозначное соответствие меж­ду рассматриваемыми множествами.

Однако он считал, что только возможность полной упорядоченно­сти на числовой прямой может дать ключ к решению проблемы. Впослед­ствии развитие этой мысли привело к появлению специальных аксиом о возможности вполне упорядоченного множества действительных чисел (аксиома Цермело и др.). Но это уже относится к аксиоматической теории множеств. В области наивной теории множеств следует еще ос­тановиться на результате, полученным венгерским математиком И. Кенигом.

Из исследований Г. Кантора было ясно, что мощность континуума есть некоторый алеф, т.е. С=Аx. Остается доказать, что х = 1. Согласно теореме Кенига, алеф соответствующий мощности континуума, имеет конечный индекс. Еще раньше было показано, что этот индекс не может быть равен нулю: х  0, т.е. С  А0.

В 1925 г. появилось сообщение Д.Гильберта, из которого следо­вало, что ему удалось решить континуум-проблему. Выдвинув знамени­тую программу обоснования математики, он стремился доказать, что в содержательной математике не может быть логических противоречий. Согласно его программе математическая теория имеет право на суще­ствование, если доказано, что она не приводит к противоречиям. (В то время интенсивно обсуждался вопрос о проблеме существования в математике). Поэтому отправляясь от своей общей концепции, Гильберт пытался доказать, что принятие континуум-гипотезы не приводит к противоречиям в основных теориях математики. Тем самым, по его мне­нию, устанавливается место мощности континуума на алефической шка­ле. Однако, отмечает Н. Лузин, это было не то, что требовалось: "Для теории функций мало знать, что совпадение мощности континуума с первым за-счетным алефом непротиворечиво: для теории функций необходимо фактическое знание индивидуального перечисления точек трансфинитными числами второго класса Кантора. А этого как раз нет в теории Гильберта. Совпадение мощности континуума с алеф-один непротиворечиво, но исключается ли этим возможность того, что совпадение мощности континуума с алеф-два непротиворечиво. И что произойдет, если будет доказана в самом деле последняя непротиворечивость?'' (15, с. 29-30) Лузин Н. Н. первым в истории поисков решения континуум-гипотезы высказал глубокую догадку (впоследствии полностью подтвердившу­юся) о том, что континуум-гипотеза носит характер свободной аксиомы, подобно аксиоме о параллельности прямых в геометрии. Именно эта догадка Н.Н. Лузина оказалась подлинным смыслом достигнутого уже в на­ше время решения континуум-проблемы в исследованиях К. Геделя и П.Коэна. Но это решение континуум проб­лемы оказалась возможным благодаря аксиоматическому построению теории множеств.

К перестройке теории множеств на аксиоматической основе математиков вынуждали ранее рассмотренные парадоксы в основаниях наивной теории множеств, которые вопреки первоначальным ожиданиям, оказались неразрешимыми.

Впервые аксиоматическое построение теории множеств осуществил Э.Цермело в 1908 г. Затем его аксиоматика была дополнена и видоизменена в работах А.Френкеля (1925), Т.Сколема (1929), Дж.Неймана (1928), П.Бернайса (1937-1954) и др. Цермело сформулировал систему аксиом, в которой описал некоторые свойства множеств. Остальные их свойства, установленные в теории Кантора, он пытался вывести из предположенных им аксиом. Основной замысл Цермело состоял в том, чтобы ограничить область приложимости своей аксиоматики такими мно­жествами, рассмотрение которых не приводит к парадоксам.

Впоследствии, при разработке новых вариантов аксиоматики теории множеств, эта ограничительная тенденция получила всеобщее признание как средство, позволявшее если не устранить, то по крайней мере обойти парадоксы.

Если принять систему аксиом Цермело, то в некоторых существен­ных пунктах теория множеств Кантора получает достаточное обоснова­ние. Существенную роль в системе аксиом Цермело играет так называемая аксиома выбора, состоящая в следующем: если имеется бесконечное множество бесконечных множеств, то из каждого множества можно выб­рать по одному элементу и образовать из них новое множество (множе­ство представителей). Опираясь на эту аксиому, Цермело доказал, что всякое множество может быть вполне упорядочено, а это означает, что мощность континуума есть алеф. Однако из результатов Цермело ничего нельзя было сказать о месте занимаемом мощностью континуума на шкале алефов.

В ходе исследований по аксиоматизации математических теорий было обнаружено, что если какая-либо научная теория аксиоматизиро­вана, то она образует интерпретацию или модель своей системы аксиом. Модели являются объектом самостоятельного изучения в математике и с их исследованием связано открытие интересного парадокса Сколема, который позволил по-иному взглянуть на понятие мощности данного множества. В 1915 г Л. Левенгейм доказал, а в 1920 г. Т. Сколем обобщил теорему, суть которой сводится к следующему: если непротиворечивая аксиоматическая система имеет модель, то она имеет и счетную модель.

Отправляясь от этой теоремы, Т.Сколем в 1922 г. пришел к поразительному выводу (парадокс Сколема): можно так интерпрети­ровать первоначальные понятия некоторой аксиоматической теории, что получим только счетную совокупность множеств и все аксиомы будут истинными ( т.е. существует счетная модель для этой аксиома­тики), хотя согласно одной из теорем этой теории, имеется несчетная совокупность множеств. Иначе говоря, несчетное множество можно так интерпретировать, что получится счетное множество.

В чем причина этого удивительного парадокса? Очевидно в том, что понятие мощности множества не имеет самостоятельного, не­зависимого и абсолютного смысла и должно определяться аксиоматически, как и само исходное понятие множества, описываемое определенной системой аксиом. Вплоть до появления парадокса Сколема математики не осознали этого факта. Они не замечали, что внесение в множество тех или иных отношений между его элементами (т.е. превращение его в множество той или иной аксиоматической системы) изменяет "число" элементов (мощность) в этом множестве.

Отсюда вытекает знаменательный вывод: понятие мощности множества не является абсолютным, а зависит от той аксиоматики, в которой рассматривается данное множество. Значит, не существует никакой абсо­лютной несчетности. Множество, счетное в одной аксиоматике, может ока­заться несчетным в другой. Получается релятивизация теории множеств. Таким образом, если в теории множеств стать на аксиоматическую точку зрения, то необходимо признать, что проблема континуума может иметь смысл только по отношению к какой-либо конкретной аксиоматической теории. Впоследствии работы К. Геделя и П. Коэне подтвердили правильность такого вывода. Первый существен­ный результат на пути решения континуум-гипотезы был получен только в 1938 г. австрийским математиком и логиком Геделем. Он состоит в том, что во многих аксиоматических системах континуум-гипотеза либо верна, либо является независимым утверждением. Геделю удалось дока­зать, что присоединение континуум-гипотезы к аксиомам системы Цермело-Френкеля в качестве дополнительной аксиомы не приводит к противоречию. Таким образом, Гедель установил совместимость континуум-гипотезы с системой аксиом современной теории множеств.

Однако оставался еще нерешенным такой вопрос: не является ли совместимым с аксиомами теории множеств также и отрицание континуум- гипотезы. Если бы ответ был положительным, то очевидно; отпал бы вопрос о континууме как о актуально составленном из элементов-инди­видуумов (точек), а кроме того, нельзя было бы говорить о каком-либо определенном месте его мощности на алефической шкале. Этот вопрос оста­вался открытым более двадцати лет, и только в 1963 - 1964 гг. П. Коэн (и почти одновременно с ним Л. Буковский и Я. Онышкевич) смогли дать на него ответ. Развивая идеи и результаты Геделя, они доказали, что кон­тинуум-гипотеза независима от других аксиом теории множеств Цермело- Френкеля. Иными словами, исходя из указанных аксиом, она не может быть ни доказана, ни опровергнута. Таким образом, добавив к аксиомам теории множеств как континуум-гипотезу, так и противоположное ей утверждение, мы никогда не придем к логическому противоречию.

e) П. Коэн: континуум-гипотеза очевидно ложна. Континуум как целое

Итак, кратко изложенная здесь история развития представлений о континууме и в особенности тот в высшей степени своеобразный ре­зультат, который достигнут в рамках математической науки в отноше­нии поставленной Г. Кантором континуум-гипотезы, ясно указывают на то, что для понимания смысла достигнутого ее решения необходимо об­ращение к философскому языку, в частности – категориям множествен­ного и единого (как неразложимого на многое целого).

Применительно к проблеме строения континуума этот результат показывает, что континуум не может состоять из определенной, хотя бы и большей счетной совокупности непротяженных элементов-точек, ибо мощность континуума на алефической шкале может совпадать как с первым алефом, так и со вторым, и, по-видимому, любым алефом. Значит, место мощности континуума на шкале алефов не определено, можно говорить о свободном перемещении мощности континуума с алеф-один на алеф-два и т.д. и при этом не будет противоречия с основными аксиомами теории множеств. Достигнутое решение континуум-гипотезы относится к теории множеств построенной на основе аксиоматики Цермело-Френкеля и, очевидно, не отвечает исходной установке и замыслу самого Кантора. Пос­ледний стремился развить теорию множеств во всей общности, как теорию, относящуюся к любым множествам; ограничительная тенден­ция аксиоматических теорий была ему совершенно чуждой.

Но отсюда следует, что если даже с точки зрения любой из су­ществующих в настоящее время аксиоматических систем теории множеств утверждение о мощности континуума носит характер свободного пред­положения и его никак нельзя получить в качестве необходимого, то тем более иллюзорной является претендовавшая на окончательную исти­ну концепция Кантора о чисто множественной природе континуума и его исчерпывающем представлении множеством элементов определенной трансфинитной мощности в рамках наивной теории множеств. В этом смысле взгляды Брадвардина на целостность континуума, а также сомнения А.Пуанкаре, Н.Н.Лузина и других в исчерпывающей разложи­мости континуума как непрерывности на некоторое единственное мно­жество актуально существующих элементов подтвердились. Свойство непрерыности континуума настолько фундаментально и в то же вре­мя противоположно точечности⁵, положенной в основу чисто множе­ственной его модели, что между непрерывностью континуума и его мощностью как точечного множества не существует однозначной связи. Таким образом, континуум оказался чем-то несравненно более бога­тым, чем просто лишь множество точек, хотя бы и за-бесконечной мощности, и само понятие "множество", вовсе не исчерпывает его сущности. В связи с этим уместно сказать, что для Г. Вейля, как и для других интуиционистов, континуум вообще не является множеством точек: континуум – это среда свободного становления, в которой мы можем помещать точки, стягивая интервалы, но которая не состоит из точек. На неисчерпываемость континуума множествами любых чисел указывал А.А. Холшевников .

Исключительно множественная концепция точечного континуума является односторонней идеализацией "реального" континуума, при­чем идеализацией не только законной, но и необходимой в рамках абстрактных математических построений. Однако вынесение ее за пре­делы той или иной аксиоматической системы с последующим приписы­ванием ей какого-то реального смысл недопустимо.

Нельзя не видеть, что это является также естественным подтвер­ждением известных представлений о диалектической природе континуума и неисчерпаемости его в одностороннем "точечном" или чисто "мно­жественном" представлении.

Допустимо ли подобное философское истолкование достигнутого решения континуум-гипотезы? Да. Доказательство этого можно полу­чить из первых рук. Как уже отмечалось, Н.Н. Лузин первым в 1927 г. высказал предположение, что установление мощности континуума может оказаться "делом свободной аксиомы". П. Коэн в своих работах неодно­кратно подчеркивает, что предположения Н.Н. Лузина оправдались. Ин­тересно проследить, как интерпретировал Н.Н.Лузин предсказанную им независимость континуум-гипотезы. Вот что он писал: "Необходимо в самом деле подождать новых фактов, касающихся возможности полной арифметизации континуума. Из всех тезисов Брауэра и Вейля самым интересным является утверждение, что континуум не есть множество точек". Далее Н.Н. Лузин говорит о проводимых его группой в Москве ис­следованиях по арифметизации континуума и высказывает надежду на установление аксиоматической природы гипотезы о мощности континуума.

А это, по его мнению, явится "experimentum crucis”⁶ в пользу упомянутого тезиса Брауэра о том, что "континуум не есть множество точек” (15, с. 32 и др.). Таким образом, возможное открытие независимости континуум-гипотезы Н.Н.Лузин рассматривал как свидетельство того, что в конечном счете континуум вовсе не состоит из точек. Разумеется, вместе с возникающей здесь дилеммой множественного и целого (как неразложи­мого на множественное) мы выходим уже за пределы математики. Н.Н. Лузин понимал, что в этой пограничной области математика соприкаса­ется с глубокими философскими вопросами, и поэтому он не случайно упоминал в связи с этой проблематикой имена элеатов, Пиррона, Аквината и других философов. Но математика могут и не интересовать эти вопросы, в то время как для философа именно эта пограничная область представляет наибольший интерес. В настоящее время, когда эти пред­положения относительно природы континуума по существу подтвердились, представляется весьма актуальным исследование философского аспекта континуум-проблемы, связанного с диалектикой категорий множествен­ного и целого (целого как неразложимого на многое), того аспекта, который казался совершенно естественным таким выдающимся математи­кам, как Н.Н.Лузин, Л.Брауэр, Г.Бейль и др.

Более того, некоторые математики в философском истолковании независимости континуума-гипотезы идут дальше. В связи с этим откры­тием Коэн признает вполне допустимым даже крайний финитизм, вообще отрицающий какой-либо реальный смысл за бесконечными множествами. "Хотя эта точка зрения может казаться весьма крайней, – пишет Коэн, – она может быть изложена вполне действенно и убедительно" (13, с. 280).

Однако на самом деле в этом нет необходимости. С точки зрения диалектики множественного и целого, финитистская концепция контину­ума также одностороння, как и противоположная ей наивно реалистиче­ская, абсолютизирующая его множественный аспект. И сам П.Коэн, от­межевавшись от обеих точек зрения, в конечном счете склоняется к признанию неисчерпываемости континуума любыми известными в настоящее время типами множеств. "Точка зрения, которая как предчувствует автор, может в конце концов стать принятой,– пишет он,– состоит в том, что континуум-гипотеза является очевидно ложной. Вероятно, главная причина, по которой принимают аксиому бесконечности, состоит в ощущении абсурдности той мысли, будто процесс добавления только по одному множеству за раз может исчерпать весь мир. Аналогично обстоит дело с высшими аксиомами бесконечности. Далее А1 – множество всех счет­ных ординалов, и в этом состоит только частный и простейший способ по­рождения высших кардиналов. Множество С, напротив порождено совершенно новым и более сильным принципом, а именно аксиомой степени⁷. Нет ра­зумных оснований ожидать, что какое-либо описание большего кардинала, которое пытается построить этот кардинал с помощью идей, происходящих от аксиомы подстановки⁸, окажется когда-либо достаточным для получения С. Таким образом, С больше, чем , где  = и т.д. С этой точки зрения С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого-бы то ни было постоянного процесса построения (13, с. 281-282).

Конечно, было бы интересно знать, удастся ли когда-нибудь сформулировать в рамках математики такую аксиому, которая бы позволя­ла установить единственность мощности континуума как множества, ос­тающегося в то же время заведомо недоступным для тех методов, с по­мощью которых Кантор построил за-бесконечный мир бесконечных алефов. Думается, едва ли. Но при этом нельзя не вспомнить, что со времени Гегеля существует не как аксиома, но скорее как факт диалектической логики известное положение о соотношении понятий многого и единого, для анализа которого нет, правда, места в области формальной логики, но которое тем не менее весьма примечательно.

В нашем языке понятие многого существует лишь постольку, посколь­ку есть противоположное ему понятие единого (понимаемого в качестве отрицания многого и всякой множественности). Эти неопределимые по­рознь понятия оказываются неразрывно связанными, взаимно обуславли­ваемыми и взаимно определяемыми через отрицание одного другим. При­чем так, что многое в конечном счете имеет своим основанием единое. Но вырастая из него, оно никогда не исчерпывает его; а единое, в свою очередь, именно благодаря этому существует через многое и во многом. Поэтому, "мир" или "реальность", с точки зрения диалектиче­ской логики, обладает неустранимой "двуликостью" или "противоречи­востью", и одного лишь понятия множества недостаточно для исчерпы­вающего описания реальности: необходимо обращение к прямо противопо­ложному и дополнительному по отношению к нему понятию единого. Имен­но с этим логическим фактом взаимоопределимости и взаимоотносимости категорий множественного и единого математики и столкнулись в проблеме континуума.

Следует особо подчеркнуть уникальность современного этапа в исследовании континуума. Даже беглого ознакомления с историей этого понятия в математике достаточно для того, чтобы заметить в истории оснований математики попеременное обращение к концепциям прерывно­сти или непрерывности, которое никогда не было простым повторением пройденных этапов, но каждый раз расширяло математический горизонт и обогащало арсенал математических методов. Тем не менее вся прош­лая история континуума хорошо вкладывается в старую схему единства прерывного и непрерывного. Поэтому при поверхностном подходе к результатам достигнутого решения континуум-проблемы может показать­ся, что и в настоящее время мы имеем еще один (и лишь один из мно­гих) поворотов к "чистой непрерывности” континуума. Однако такое представление было бы в корне ошибочным, ибо оно игнорирует следу­ющие важные обстоятельства. Отвергаемая здесь концепция континуума была сформулирована на теоретико-множественном языке, в котором тер­мины "прерывность – непрерывность" занимают подчиненное положение по отношению к термину – "множество" (множества могут быть прерывными и непрерывными). И если оказалось, что в конечном счете конти­нуум не есть множество, то это означает, в частности, что он не яв­ляется множеством с заданными на нем свойствами непрерывности или прерывности. Обнаруженный факт невозможности исчерпывающего и од­нозначного описания континуума как множества, ведет к признанию в нем свойств нетривиальной целостности, которую следует понимать как отрицание и исключение всякой множественности. Эта целостность и единство в континууме есть свойства более сильные, чем обычная непрерывность множеств, они лежат как бы в ее основе. Поэтому более адекватной природе континуума оказывается диалектика множественно­го и единого (как неразложимого на многое целого), чем диалектика прерывного и непрерывного, которая вся опирается на понятие множе­ства. Диалектика прерывного и непрерывного в некотором смысле раз­решается в диалектику множественного и целого и снимается в ней, когда обнаруживается неуниверсальность понятия множества и необхо­димость введения его полного отрицания.

f) Теоремы Геделя о неполноте формальных систем и континуум-проблема

Как уже упоминалось, в докладе, прочитанном 8 августа 1900 г. на II Международном когрессе математиков в Париже, Гильберт сформу­лировал свои знаменитые 23 проблемы, среди которых первой была кон­тинуум-проблема. В качестве второй была названа проблема доказатель­ства непротиворечивости аксиом арифметики. Привлекает внимание тот факт, что Гильберт тут же указал на наличие внутренней связи между обеими этими проблемами.

Система аксиом арифметики, замечал он, представляет собой не что иное, как известные правила арифметических действий вместе с аксиомой непрерывности. Следовательно, доказательство непротиворечивости аксиом арифметики вещественных чисел равносильно доказательст­ву математического существования понятий вещественного числа или континуума. (Под математическим существованием объекта Гильберт по­нимал отсутствие противоречия в его определении). Таким образом, в данном случае он надеялся наряду с доказательством непротиворечиво­сти аксиом арифметики получить окончательное и вполне строгое обос­нование понятия вещественного числа, а значит тем самым и определен­ное решение континуум-проблемы. "В самом деле, – писал Гильберт, – ес­ли удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования понятия вещественных чисел, теряют всякое основание. Правда, понятие веще­ственных чисел, т.е. континуума, представляет собой при вышеизложен­ной точке зрения не просто совокупность всех возможных десятичных разложений или совокупность всех возможных законов, по которым мо­гут следовать элементы какого-либо фундаментального ряда, но систе­му элементов, взаимные соотношения между которыми устанавливается системой аксиом и для которых справедлива все те и только те положения, которые могут быть получены из этих аксиом конечным числом логиче­ских умозаключений. Только в этом смысле, по моему мнению, может быть строго логически осмысленно понятие континуума. Действительно, это, как мне кажется, соответствует также наилучшим образом тому, что нам дают опыт и наглядное представление. Тогда и понятие конти­нуума, а также понятие системы всех функций, существует точно в та­ком же смысле, как и система целых рациональных чисел или как кантаровы классы и мощности высших порядков” . Гильберт был твердо убеж­ден в достижимости строгого обоснования понятия вещественного чис­ла, и следовательно, доказательства непротиворечивости континуума вещественных чисел.

Хотя в первой проблеме гипотеза континуума была сформулирова­на Гильбертом вслед за Кантором как вопрос о мощности действительных чисел, а при обсуждении второй проблемы он заострял внимание на воз­можности строгого обоснования понятия вещественного числа путем до­казательства непротиворечивости аксиом арифметики, ясно, что сама возможность решения вопроса о мощности множества действительных чи­сел самым существенным образом зависит от возможности строгого обоснования понятия действительного числа. Так что, вообще говоря, вторая проблема Гильберта содержала испытание и такого частного утвер­ждения как вопрос о мощности континуума. Ответом на вторую проблему Гильберта явились теоремы К.Геделя о неполноте формальных систем арифметики, доказанные им в 1931 г.

В процессе развития этих идей Гильберта было установлено, что центральный вопрос обоснования математической теории – вопрос о ее непротиворечивости,– приобретает вполне точный смысл для такой теории, которая полностью формализована. Сущность формализации теории состоит в записи всех ее предложений на строго однозначном символическом языке. При этом конечное число некоторых из этих предложений объяв­ляется аксиомами. Формализация представляет собой средство устране­ния неточности и двусмысленности естественного языка. На основании определенных правил вывода, которые также записаны в формальном ви­де, от аксиом можно перейти к любому предложению теории или вывести его. Сам вывод формализуется. Таким путем достигается построение не­которой машинообразно развертывающейся системы, в которой посредст­вом достаточного, но конечного числа шагов можно прийти к любому предложению или теореме, относящейся к данной области, если только число аксиом достаточно богато и имеются все необходимые правила вывода. В этом случае мы имеем абсолютно строгую формализованную теорию которая сама может стать объектом математического исследования.

Образно говоря, такая полностью формализованная математическая теория сама представляет собой некоторую гигантскую математическую формулу, которую в силу этого можно подвергнуть строгому математи­ческому исследованию на предмет ее непротиворечивости. Суть доказа­тельства непротиворечивости формализованной системы заключается в установлении таких ее свойств, которые делают невозможным проявление в ней предложений типа “А и не-А”. Это доказательство про­водится с привлечением наиболее простых и не вызывающих сомнений средств. В частности, использование в доказательстве предложений, в которых в той или иной форме привлекается идея актуальной бесконечности, по Гильберту, категорически недопустимо, поскольку актуальная беско­нечность в любой форме ее представления явно ответственна за появ­ление противоречий и парадоксов (таких, например, как парадоксы теории множеств). Гильберт высказал предположение о возможности доказательства непротиворечивости арифметики существенно финитными средствами.

И вот в 1931 г. Гедель опубликовал две теоремы, смысл которых заключается в установлении неосуществимости программы Гильберта по доказательству непротиворечивости арифметики финитными средствами. В теоремах Геделя речь идет об арифметике натуральных чисел, но ог­раничения, установленные им, имеют смысл и для арифметики веществен­ных чисел и любой другой, расширенной или пополненной системы, со­держащей в себе арифметику натуральных чисел.

В первой теореме Геделя доказывается, что если формализованная арифметика непротиречива, то в ней есть по крайней мере одно та­кое предложение, которое невыводимо в ней вместе со своим отрицанием Добавление этого предложения (или его отрицания) к системе аксиом в качестве новой аксиомы не спасает положения, ибо в расширенной таким образом формальной системе появляется новое неразрешимое предложе­ние.

Согласно второй теореме Геделя непротиворечивость арифметики не может быть доказана средствами, формализуемыми в ней, т.е. имен­но финитными средствами. Для доказательства непротиворечивости арифметики натуральных чисел оказывается необходимым обращение к таким посылкам, которые выходят за рамки рассматриваемой системы и относятся к некоторой более богатой системе. При этом является су­щественным предположение, что эта более богатая система, из которой черпаются посылки для проведения доказательства непротиворечивости данной формальной системы, сама является непротиворечивой. Таким образом, доказательство непротиворечивости достаточно богатой фор­мальной системы может иметь лишь относительный смысл: данная фор­мальная система непротиворечива, если непротиворечива остающаяся неформализованной некоторая более богатая система, из которой берут­ся посылки для проведения доказательства непротиворечивости рассмат­риваемой формальной системы. Именно такое доказательство относительной непротиворечивости арифметики но средствами более мощными, чем сама арифметика, было вскоре найдено немецким мате­матиком Г. Генценом (1935 - 1936 гг.).

Сам по себе факт установления возможности доказательства лишь относительной непротиворечивости для достаточно богатых систем име­ет огромное философское значение, поскольку он очевидным образом идейно смыкается с известными философскими положениями о диалектике относительного и абсолютного в знании.

Абсолютной непротиворечивостью обладают лишь весьма бедные системы, например, исчисление высказываний, все аксиомы которого представляют собой тождественно-истинные высказывания (тавтологии), а правила вывода состоят в переводе одних тождественно-истинных выс­казываний в другие тождественно-истинные высказывания, таким же яв­ляется и исчисление предикатов, т.е. вся формальная логика, которая целиком опирается на принцип тавтологии. Таким образом, великое от­крытие К. Геделя требует осознания следующей знаменательной и со­вершенно неизбежной дилеммы, стоящей перед человеческим разумом в области оснований так называемых точных наук: или тавтология и только тавто­логия, или (если система достаточно богата) лишь относительная не­противоречивость, т.е. в конечном счете постулирование, предполо­жение непротиворечивости. Но эта строго установленная и совершенно неизбежная познавательная ситуация в области оснований точных наук есть только следствие того более общего эпистемологического факта, согласно которому драма человеческого познания неразрывно сопряже­на с внутренней диалектической природой оснований его.

Итак, возвращаясь к проблеме континуума, мы можем заключить, что с момента появления теорем Геделя о неполноте формальных систем арифметики были веские основания предполагать, что континуум-гипотезу Кантора нельзя доказать.

Ведь если даже непротиворечивость формализованной арифметики натуральных чисел может быть доказана лишь на основе чистого предпо­ложения о непротиворечивости некоторой более мощной арифметической системы, то тем более в любой последующей, расширенной арифметиче­ской системе такой, например, как система вещественных чисел, яв­ляется неизбежным элемент свободного допущения. Это несомненно долж­но было повлечь за собой неизбежную относительность непротиворечиво­сти такого достаточно сложного утверждения, как высказывание о мощ­ности континуума.

В любом случае доказательство абсолютной непротиворечивости арифметики натуральных чисел в духе гильбертовской программы фор­мального обоснования математики должно было по необходимости пред­ставлять собой первый шаг на пути совершенно однозначного и строго определенного решения вопроса о мощности континуума. И вот оказа­лось, что такой шаг в принципе не может быть сделан. Вместе с ус­тановлением неосуществимости гильбертовской программы обоснования математики исчезали и надежды на абсолютное решение вопроса о мощ­ности континуума. И если Геделю при исследовании свойств формальной системы арифметики натуральных чисел удалось построить некоторое искуственное выражение, принадлежащее этой системе и утверждавшее свою собственную неразрешимость в ней, то, как показал П. Коэн, континуум-гипотеза Кантора представляет собой пример вполне содержательного математического утверждения, но точно также неразрешимого в рамках суще­ствующих аксиом теории множеств.

В статье "Об основаниях теории множеств" П. Коэн следующим об­разом оценивает отношение теоремы Геделя о неполноте формальных систем к континуум-гипотезе: теорема Геделя "является величайшим препятствием для любой попытки полностью понять природу бесконечных множеств. Одновременно, показывая, что высшие бесконечности отража­ются в теории чисел, ибо позволяют нам доказывать недоказуемые без них утверждения, теорема Геделя чрезвычайно затрудняет отстаивание той точки зрения, что высшие бесконечности можно попросту отвергнуть. Наша привычка к теореме о неполноте не должна мешать нам постоянно видеть эту фундаментальную недостаточность всех формальньх систем, которая имеет гораздо более далеко идущие последствия, чем независи­мость частных утверждений вроде гипотезы континуума. Именно это лежит в основе моего пессимистического мнения о том, что любое техническое достижение и в будущем не прольет света на основные философские проблемы" (14, с. 171). Но только потому – добавим, – что эти проблемы по природе своей выходят за рамки математического языка и нуждаются в обсуждении с помощью существенно более богатых категорий, чем матема­тические понятия, в частности таких, как категории множественного и единого (или целого) . Последнему же понятию в математике просто нет места.

g) Статус иррационального числа

Достигнутое решение континуум-гипотезы, состоящее в доказатель­стве ее неразрешимости, может быть, не будет казаться столь удивительным, если проанализировать свойства такого важного элемента конти­нуума, как иррациональное число, которое, с одной стороны имеет непосредственное отношение к отражению стуктурного аспекта континуума – его непрерывности, а с другой – вносит решающий вклад в мощность кон­тинуума как множества действительных чисел. И хотя континуум-гипо­теза непосредственно говорит о мощности континуума, на самом деле она явилась средством испытания определенной, а именно исключительно множественной модели отражения структуры континуума – его непрерывно­сти. Это видно из того, что, как замечает Н.Н. Лузин, лишь с введе­нием иррационального числа "мы получаем возможность (хотя, быть мо­жет, лишь иллюзорную) рассматривать континуум как множество, образо­ванное из рациональных и иррациональных точек" .

В представлении континуума как множества точек иррациональные числа имеют исключительное значение, ибо множество рациональных чисел еще не создает континуума ни по мощности (она не больше счетной), ни по структуре (множество рациональных чисел лишено свойства непрерыв­ности столь характерного для континуума).

Очень важно то обстоятельство, что исторически иррациональные числа были введены именно для того, чтобы отразить непрерывность пря­мой, и, таким образом, они с самого начала имеют самое непосредствен­ное отношение к структуре континуума – его непрерывности. Об этом пря­мо говорил Р. Дедекинд, который, собственно, и дал обоснование свя­зи иррационального числа и непрерывности: "если же хотят, а это в са­мом деле , желательно исследовать все явления на прямой также и арифметическим путем, то ввиду недостаточности для этой цели рациональных чисел становится необходимым существенно улучшить построенный путем созидания рациональных чисел инструмент R, т.е. множество рациональных чисел, создав новые числа таким образом, чтобы область чисел приобрела ту же полноту, или, скажем прямо, ту же непрерывность как и прямая линия". Именно путем созидания иррациональных чисел "... раз­рывная область рациональных чисел должна быть дополнена до превраще­ния ее в непрерывную" .

Легко убедиться также в том, что все аксиомы непрерывности прямой – аксиома Евдокса-Архимеда, Дедекинда или Кантора – так или иначе при арифметическом представлении прямой требуют обращения к иррациональном числам. И если при этом даже не учитывать того факта, что иррациональные числа первоначально были введены как средство отображения непрерывности прямой (или забыть об этом), то все равно сама возможность установления взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек прямой и множеством всех действительных чисел самым непосредственным образом будет опираться на аксиомы непрерывности и с этой точки зрения, следовательно, также будет суще­ствовать очевидная и тесная связь между структурой континуума и ир­рациональными числами.

Таким образом, нельзя не видеть наличия глубокой связи между неп­рерывностью и иррациональным числом и одновременно выдающейся ролью иррационального числа в представлении континуума как множества.

Отсутствие однозначного решения вопроса о мощности континуума выступает здесь своеобразным дополнением исторически более раннего математического факта: отсутствия строгого обоснования иррационального числа : В то время как целые числа вводятся аксиоматически, ра­циональные – как упорядочемные пары целых, иррациональные – вводятся без строгого обоснования: просто как "остальные точки прямой" (32, ch. 3). Но вопрос в том и состоит, существуют ли эти остальные точки прямой и в каком смысле.

Разумеется, можно сказать, что иррациональные числа вводятся тоже аксиоматически, например, на основе следующей аксиомы: бесконеч­ная последовательность вложенных друг в друга интервалов стягивается к точке. Однако критическим для всей чисто множественной концепции континуума является вопрос о том, существует ли актуально эти “остальные точки прямой", отвечающие иррациональным числам? И сегодня усматривать во множестве иррациональных чисел доказательство полной разложимости континуума на точки – значит впасть в порочный круг, ибо исторически иррациональные числа были введены именно в предположении существования таких точек. На наличие здесь явного "обращения мысли" (т.е. именно порочного круга) указывал еще Ф. Клейн .

Если рациональная точка в рамках арифметической концепции конти­нуума может быть строго указана в завершенной и актуальной форме, то для иррационального числа, которое не имеет конечного и актуально завершенного выражения, не существует способа указать на арифметизированной прямой актуально существующую точку, подобно рациональной (графическое построение отрезка, равного , не является дово­дом в рамках арифметической концепции континуума). Поэтому существование "остальных точек прямой", отвечающих иррациональным числам, коренным образом отличается от существования рациональных точек. Их сущест­вование является чистым предположением в том смысле, что эти точки реально не даны, а задаются Бесконечным процессом, который, однако, никогда не бывает завершенным. И в то же время (в отличие от ра­циональных точек) нет никакого другого способа убедиться в реальном существовании предела этого процесса.

Это обстоятельство можно сделать особенно наглядным, если воспользоваться представлением иррационального числа в виде сходящихся последовательностей рациональных приближений к нему, взятых с не­достатком и с избытком. Каким бы длинным мы не взяли эти последова­тельности между их членами всегда будет оставаться неразделенной соответствующая единица: десятая, сотая, тысячная, миллиардная и т.д. Причем в этом бесконечном процессе ее дробления она всегда бу­дет оставаться конечной, пусть сколь угодно малой, но всегда имеющей величину и, следовательно, отличной от точки. Поэтому вместо обычных слов о связи между непрерывностью и иррациональным числом можно высказаться более определенно: иррациональное число непосредственно и явно выражает неделимость континуума в конечном счете, его неис­черпаемость в чисто (и только) множественном представлении.

Если определить актуально существующую точку на прямой с помо­щью рационального дедекиндовского сечения, то графическое построение иррациональных отрезков в этом случае не будет означать нахождения такой актуально существующей точки (которая могла бы, например, ак­туально замыкать ребро вдвое увеличенного куба). Точки, отвечающие иррациональным числам, имеют потенциальный, но не актуальный харак­тер и всегда остаются недостижимыми в смысле их точного арифметиче­ского выражения.

Ввиду отсутствия строгого обоснования и конечного определения иррациональных чисел какие-либо конечные математические операции с ними не имеют, разумеется, строго смысла. Сумму двух иррациональных чисел нельзя определить ни как совокупность, в которой содержится столько единиц и аликвотных⁹ частей единиц, сколько их в двух слагае­мых вместе взятых, ни индуктивным путем, ибо ни то, ни другое опреде­ление не имеет здесь смысла. Последним путем, как показал немецкий ма­тематик XIX века Г.Грассман, можно определить лишъ сумму целых чисел.

С помощью каких-либо конечных математических операций нельзя пе­рейти от иррационального числа к рациональному.

Отмеченные особенности и своеобразная природа иррационального числа свидетельствуют о том, что свойство непрерывности кон­тинуума не исчерпывается чисто множественным представлением его через посредство актуальной совокупности определенной мощности, хотя бы и выше счетной.

В конце концов, подводя итог всему изложенному, приходится кон­статировать: не следует забывать ту древнюю идею, которую теория множеств сделала излишней в период своего становления и согласно которой в основании непрерывности лежит "единство в множественности", ибо одной лишь актуальной множественности явно недостаточно для исчер­пывающего и однозначного представления свойств континуума.

В свое время Пуанкаре, характеризуя теоретико-множественную точ­ку зрения на континуум, должен был признать, что согласно ей мате­матическая непрерывность "есть не более как собрание особей, распо­ложенных в известном порядке, правда в бесконечном числе, но внешних друг другу". Однако не этому, – указывал он, – соответ­ствует обычное понятие о ней – понятие, в котором полагается между элементами непрерывного род внутренней связи, составляющий из них целое, где не точка предваряет существование линии, но линия пред­варяет существование точки. От знаменитой формулы: непрерывность есть единство во множественности – остается только множественность . И вот история взглядов на континуум завершила полный круг своего развития. И теперь для понимания эпистемологического смысла достигну­того решения континуум-проблемы оказывается необходимым обращение к диалектике понятий множественного и единого (понимаемого как отрица­ние и противоположность многого). Но изучение соотношения этих по­нятий и связанной с ними диалектической идеи выходит за пределы ма­тематики и относится уже к области философии. В математике же эти обстоятельства выражаются косвенно в факте неисчерпаемости конти­нуума любыми актуальными множествами элементов.

Следует обратить внимание на одно обстоятельство, также сви­детельствующее об уникальности теоретико-познавательных проблем, возникающих в связи с установлением неразрешимости континуум-гипотезы. В литературе неоднократно высказывались предположения, что при­нятие различных формулировок континуум-гипотезы может привести к "расщеплению" математики, к появлению "множественности" математик подобно "множественности" геометрий, рождаемых той или иной формой постулата о параллельных. И было бы, например, весьма заманчиво до­вести анализ следствий решения континуум-проблемы до такого уровня, на котором бы содержались методологические указания о построении но­вой формы (или новых форм) математического континуума, допускающих практическую реализацию вроде той, которая была найдена для неэвклидовых геометрий в виде поверхностей постоянной кривизны.

Однако континуум-гипотеза содержит более глубокую проблему, чем постулат о параллельности в геометрии. На это прямо указывает ее тес­ная связь с теоремами Геделя о неполноте, рассмотренная выше. Эта связь свидетельствует об абсолютной неразрешимости континуум-гипо­тезы – даже в смысле невозможности доказать средствами теории мно­жеств ее независимость от основных аксиом теории множеств.

Гедель дал теоретико-множественное доказательство того, что если непротиворечива система аксиом теории множеств без аксиомы выбора и континуум-гипотезы, то непротиворечива и система аксиом теории множеств с аксиомой выбора и континуум-гипотезой. Таким образом, Гедель доказал средствами теории множеств, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута в ней. Коэн же соответственно показал, что средствами теории множеств она не может быть и доказана. Таким обра­зом, средствами теории множеств установлена неразрешимость континуум-гипотезы в теории множеств. Вывод же о независимости континуум-гипотезы делается не на уровне теоретико-множественных моделей, а на интуитивном или метауровне по отношению к ним с помощью такого, нап­ример, рассуждения, с которого начинается оригинальная работа Коэ­на: "Это первая из двух заметок, в которых мы наметим доказательство того факта, что континуум-гипотеза не может быть выведена из других аксиом теории множеств, включая и аксиому выбора. А так как Гедель показал, что континуум-гипотеза совместна с этими аксиомами, то независимость гипотезы будет, таким образом, установлена" . Итак, средствами теории множеств построены модели, показывающие:

а) совместность континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств;

б) совместность отрицания континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств.

Но нет теоретико-множественного построениям доказывающего сред­ствами теории множеств независимость континуум-гипотезы (как некото­рого вполне реального и однозначного теоретико-множественного утвер­ждения). Геометрия Евклида, геометрия Лобачевского и геометрия на поверхности шара – это три частных случая общей неэвклидовой геометрии Римана. В противоположность этому в современной теории множеств не существует единого теоретико-множественного построения (единой модели), частными случаями которого были бы модели с принятием и отрицанием континуум-гипотезы. Вот как об этом говорят математики: "После долгих лет бесплодных поисков доказательства этой гипотезы, в которых принимал участие и Д.Гильберт, возникло предположение, что гипотеза континуума независима от системы аксиом теории множеств, подобно тому, как, скажем, ак­сиома параллельности независима от остальных аксиом геометрии Евкли­да. Оно укрепилось, когда четверть века тому назад немецкий математик Н.Гедель доказал, что его нельзя опровергнуть. Оставалось доказать, что оно верно. Но каково же было удивление математиков, когда в 1963 г. П.Коэн доказал, что справедливость предположения о независи­мости также невозможно установить средствами теории множеств. В ре­зультате, как он об этом сообщил конгрессу в своем докладе, сложилось положение, не имевшее до сих пор прецендента в математике. Кон­тинуум-гипотеза представляется ему первым примером абсолютно нераз­решимой проблемы (the first example of an absolutely undecidable proposition) . Именно в силу абсолютной неразрешимости континуум-гипотезы Коэн и Робинсон называют ее "ложной" и даже "лишенной внутреннего смысла" .

Думается, что именно диалектика множественного и единого (целого) позволяет понять, в чем тут дело. Обнаружение неуниверсальности предельного общего для математики понятия множества является однов­ременно обнаружением ее внутренних имманентных границ. В конечном счете континуум не есть множество и не может быть однозначно представлен с помощью любой системы множеств. Его нельзя исчерпывающим образом и однозначно отождествить с каким-то определенным множеством. Отсю­да – "ложность" континуум-гипотезы, отсюда – то обстоятельство, что в чисто множественном представлении континуум не имеет и не может иметь определенного "внутреннего смысла" . Вследствие этого принятие той или иной математической (а значит по необходимости чисто множественной) формы континуум-гипотезы, например С=А1, С=А2, ... и т.д., естественно, не может привести к каким-либо конкретным результа­там подобным тем, которые были получены на основе различных формули­ровок постулата о параллельных в геометрии.

Отметим в заключение плодотворность взглядов на континуум Н.Н. Лузина, а также представлений, развиваемых Л.Брауэром, Г.Вейлем и другими интуиционистами. Глубокие замечания Брауэра, Вейля и дру­гих ведущих интуиционистов относительно природы континуума (вспом­ним тезис Брауэра и Вейля: "Континуум не есть множество") явились отражением реальной диалектики оснований математики. Такой же диа­лектической по существу является и убедительная критика ими актуальной бесконечности, из которой выросло конструктивное направление в математике, интенсивно развиваемое школой А.А.Маркова. Как пишет А.Н.Колмогоров, "Конструктивное направление в математике широко по­льзуется конкретными результатами, полученными в основанной Брауэром школе "интуиционистов". Положительные достижения конструктивного направления в математике имеют в своей основе явно философскую по­доплеку: решительный разрыв с наивно-реалистическим истолкованием понятий универсума как множества и актуальной бесконечности.