5.6. Пример расчета плиты при поперечном изгибе

5.6.1. Постановка задачи

Рассматривается прямоугольная плита постоянной толщины , края которой параллельны осям и (см. рис 35).

До нагружения координатная плоскость совпадает с ее срединной плоскостью, а ось направлена вниз. Задачу о напряженно-деформированном состоянии плиты предлагается решить обратным методом, полагая, что выражение для прогибов точек срединной плоскости по оси имеет следующий вид:

(5.32)

где – некоторая постоянная величина, которая в данной задаче предполагается известной.

Полагаем, что и .

Требуется определить:

поверхностные нагрузки на плиту, вызывающие прогибы (5.32) точек срединной плоскости;

граничные условия на контуре плиты, которым соответствуют прогибы (5.32);

погонные усилия в окрестности заданной точки с координатами из таблицы 5.2 в первой части учебно-методического пособия.

5.6.2. Решение задачи

5.6.2.1. Определение распределенной поверхностной нагрузки

Поверхностная нагрузка входит в дифференциальное уравнение (5.18) прогибов срединной плоскости. Чтобы определить нагрузку из этого уравнения, найдем частные производные функции :

(5.32а)

(5.32б)

Подставляя найденные производные в уравнение (5.18), получим

или

(5.33)

Интенсивность поверхностной нагрузки (5.33), удовлетворяющая дифференциальному уравнению (5.18), по оси постоянна, а вдоль оси она изменяется по линейному закону (рис. 37). Положительная интенсивность поверхностной нагрузки совпадает с направлением оси , т. е. направлена вниз, а отрицательная нагрузка направлена противоположно оси .

Рис. 37

5.6.2.2. Определение граничных условий на контуре плиты

Определим граничные условия, которым подчиняется уравнение прогибов (5.32).

Край BP .

На этом крае, совпадающем с осью , прогибы и поворот края плиты относительно оси с учетом (5.32) и (5.32а) будут равны:

Следовательно, этот край защемлен.

Край CT .

На этом краю прогибы равны нулю, но край плиты поворачивается относительно оси, параллельной оси , то есть

При этом изгибающий момент с учетом (5.32) имеет следующее выражение:

(5.34)

Следовательно, край CT упруго шарнирно оперт.

В

Рис. 38

доль края CT изгибающие моменты (5.34) изменяются по параболическому закону. (Правила знаков для изгибающих моментов в теории плит (рис. 38б) и в теории изгиба балок (рис. 38а) при принятом направлении оси совпадают).

Край BC .

На основании (5.32) и (5.32а) на этом краю прогибы и углы поворотов нормали к краю, параллельной оси , равны следующим значениям.

Это означает, что на краю BC, имеет место защемление.

Край PT .

Подставляя в выражение прогибов (5.32) и углов поворотов относительно оси, параллельной оси , значение , получим

Следовательно, край PT свободен от жесткого закрепления. На этом краю могут быть приложены изгибающие моменты и приведенные поперечные силы . Чтобы уточнить наличие или отсутствие силовых факторов на этом крае, найдем указанные внутренние усилия при в сечении, бесконечно близкому к краю,

(5.35)

(5.36)

Из (5.35) и (5.36) следует, что по краю PT приложены нагрузки (5.35) и (5.36). Следовательно, край соединен с балкой, поддерживающей плиту и испытывающей изгиб и кручение.

Определим характер распределения и величины изгибающих моментов и приведенных поперечных усилий на краю PT. При значениях и погонные усилия (5.35), (5.36) примут следующий вид:

(5.37)

(5.38)

По значениям погонных изгибающих моментов и приведенных поперечных усилий (табл. 5.1) построены эпюры этих усилий на рисунке 38.

Таблица 5.1

Величины и на краю PT плиты

	0	0,5а	а
(5.37)		0
(5.38)

Поперечные усилия и являются равнодействующими касательных напряжений и правила знаков аналогичны правилам знаков для касательных напряжений в задаче 1 (рис. 39).

На этом рисунке погонные поперечные усилия и имеют знак плюс и направлены вдоль положительной координатной оси .

Проанализируем характер изогнутой срединной поверхности плиты. Из выражения для прогибов (5.32) видно, что при все прогибы будут иметь знак минус. Следовательно, они откладываются от координатной плоскости вверх в направлении отрицательной оси .

Рис. 39

На рис. 40 показана пунктирной линией изогнутая срединная поверхность плиты, соответствующая найденным внешним нагрузкам и закреплениям на контуре плиты.

Точка перегиба изогнутой срединной поверхности находится там, где по направлению оси равна нулю, т. е.

(5.39)

Уравнение (5.39) обращается в нуль при значении и положение точки перегиба не зависит от координаты .

Рис. 40