5.2. Выражения напряжений через прогибы срединной поверхности плиты

На рис. 31 представлена проекция на плоскость перемещения произвольной точки плиты .

Рис. 31

Эта точка находилась до деформации на нормали , проходящей через точку () срединной плоскости плиты, и располагалась на расстоянии от последней. В результате деформации точки , получив перемещение, займут положение на этой же нормали, которая в соответствии с первым допущением не искривляется и остается нормальной к деформированной срединной поверхности. Проекция нормали на плоскость после изгиба составит с вертикалью угол, который равен углу между осью и линией пересечения касательной плоскости к деформированной срединной поверхности в точке с плоскости .

Этот угол ввиду малости рассматриваемых деформаций может быть принят равным своему тангенсу, который в свою очередь равен частной производной прогиба точки по координате (см. рис. 31).

Вследствие поворота нормали точка получит горизонтальное перемещение, проекция которого на ось отрицательна, т.к. она направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси , и это перемещение равно

(5.6)

где прогиб точки , принадлежащей срединной плоскости плиты, через которую проходит нормаль¹.

Аналогично можно показать, что проекция перемещения точки на ось будет равна

(5.7)

Пользуясь (5.6) и (5.7), найдем компоненты линейной и угловой деформации , и

(5.8)

Компоненты напряжений (5.5) с учетом соотношений (5.8) получат следующие выражения через прогибы срединной плоскости:

(5.9)

И

Рис. 32

з выражений (5.9) следует, что нормальные напряжения и горизонтальные касательные напряжения изменяются по высоте сечения по линейному закону (рис. 32). Они принимают максимальные значения в точках, прилегающих к поверхностям плиты, а на срединной плоскости они равны нулю.

Зная компоненты напряжений , нетрудно определить напряжения .

Используя первое и второе уравнения равновесия (3.1) при отсутствии объемных сил, параллельных осям , получим

(5.10)

где

Выражения (5.10) удовлетворяют граничным условиям, согласно которым на поверхностях плиты нет касательной нагрузки, т. е. при должны быть .

На рис. 32 все компоненты напряжений, действующие ниже плоскости , имеют положительные значения (см., например, задачу 1).

Очевидно, что равнодействующие элементарных усилий равны нулю. Эти усилия создают пары, показанные на рис. 33.

Рис. 33

Напряжения создадут соответственно изгибающие усилия по сечению, перпендикулярному оси , и , действующему по сечению, перпендикулярному оси (см. рис. 33).

Горизонтальные касательные напряжения , действующие по перпендикулярным сечениям, создадут крутящие усилия. Вследствие закона парности касательных напряжений соответствующие усилия будут равны по величине друг другу (см. рис. 33).

Вертикальные касательные напряжения изменяются по высоте сечения по параболическому закону. Максимальные значения они принимают на нейтральной плоскости при . Эти напряжения создают поперечные усилия (см. рис. 32-33).