5.3. Выражения погонных усилий через прогибы срединной поверхности плиты

На рис. 34 показан выделенный из плиты параллелепипед сечениями, параллельными координатным плоскостям . Ширины этого параллелепипеда вдоль осей равны единице, а высота равна толщине плиты .

Рис. 34

Используя выражение для нормального напряжения (5.9), при найдем, что погонный изгибающий момент должен быть равен

Введем обозначение

(5.11)

и будем называть эту величину цилиндрической жесткостью плиты.

Цилиндрическая жесткость отличается от балочной жесткости при изгибе балки прямоугольного сечения единичной ширины с высотой множителем , расположенным в знаменателе. Поэтому цилиндрическая жесткость всегда, но не на очень много, больше балочной.

Таким образом,

(5.12)

Аналогично получим

(5.13)

Пользуясь формулой для касательных напряжений из (5.9) найдем выражение погонного крутящего усилия

Откуда, учитывая (5.11),

(5.14)

Найдем погонные поперечные усилия :

Откуда

(5.15)

и аналогично

(5.16)

5.4. Выражения напряжений через погонные усилия

Сопоставив выражение для напряжения из (5.9) и (5.12), исключив из этих выражений прогибы и обозначив, получим формулу, связывающую напряжение с погонным изгибающим моментом

Аналогичные формулы получим, рассматривая совместно выражения (5.9) и (5.13), (5.14) и, наконец, (5.10) и (5.15), (5.16).

В результате найдем, что

(5.17)

В последних двух формулах (4.66) – статический момент части сечения шириной единица, отсекаемая уровнем, на котором определяется напряжения относительно нейтральной линии.

5.5. Дифференциальное уравнение прогибов плиты. Граничные условия

Задача определения прогибов сводится к интегрированию дифференциального уравнения Софии Жермен

(5.18)

Найдя прогибы в виде определенной функции координат и , мы решим фактически задачу определения напряженно-деформированного состояния плиты, т. к., зная функцию прогибов, при помощи приведенных выше формул простым дифференцированием можно определить напряжения или погонные усилия.

Интегралы уравнения (5.18) должны подчиняться граничным условиям задачи. Эти условия определяются способом закрепления контура плиты и характером действующих на плиту нагрузок.

Напряженно-деформированное состояние плиты в каждой точке ее контура определяются, во-первых, двумя кинематическими факторами:

прогибом ,

углом наклона касательной плоскости в точке к деформированной срединной поверхности.

Угол наклона определяется производной прогиба по координате измеряемой вдоль нормали к контуру – .

Во-вторых, силовыми факторами: изгибающими, крутящим и поперечными усилиями, связанными с производными от прогибов ранее установленными соотношениями:

(а)

(б)

В рамках приближенной теории при любом опирании контура можно поставить только два из перечисленных граничных условий. Постановка трех условий (а) и (б) делает задачу неразрешимой. Опираясь на принцип Сен-Венана, граничные условия смягчают, заменяя два из трех заданных условий одним, в достаточной мере, эквивалентным им.

Для простоты ознакомления с граничными условиями, соответствующими различным способам опирания и нагружения плит, рассмотрим прямоугольную плиту, края которой перпендикулярны осям (рис. 35). На каждом краю плиты должно быть задано по два граничных условия для функции .

ЗАЩЕМЛЕННЫЙ КРАЙ

Пусть край ВС (см. рис. 35) защемлен. Тогда граничные условия на этом крае будут иметь вид:

1. при (5.19)

2. при (5.20)

Если бы был защемлен не край ВС, а край CT, параллельный оси , то было бы:

1. при (5.19а)

2

Рис. 35

. при (5.20б)

На защемленном краю крутящий момент H всегда равен нулю, ибо если, например, на всем краю CT , то и смешанная производная , которой пропорционально крутящее усилие H, также равно нулю.

Реакция защемленного края представляется опорными реактивными парами и вертикальными усилиями, распределенными по длине края. Их интенсивность определяется при этом формулами (5.12) и (5.15) или (5.13) и (5.16).

СВОБОДНОЕ ШАРНИРНОЕ ОПИРАНИЕ

Если, например, край CT при значении шарнирно оперт, то его прогибы равны нулю (рис. 36). Одновременно этот край может свободно поворачиваться относительно оси, параллельной оси , и погонные изгибающие моменты обращаются в нуль. Граничные условия на этом крае будут иметь следующий вид:

(5.21)

Второе условие из (5.21) можно упростить, учитывая, если на всем протяжении CT , то вторая производная (пропорциональная кривизне края CТ в плоскости ) тоже равна нулю.

Итак, граничные условия для шарнирно-опертого края CТ имеют вид:

1. при (5.22)

2. при (5.23)

О

Рис. 36

дновременно шарнирное опирание способно создавать только вертикальные реакции в прилегающих и параллельных краю сечениях. Оно не может создавать горизонтальные реактивные силы, которые подобны касательным усилиям, создающим крутящие пары H.

Это противоречие, связанное с приближенностью теорией изгиба плит, заставляет предполагать, что в рассматриваемых областях происходит преобразование касательных напряжений в вертикальные усилия.

Следовательно, в сечении плиты , бесконечно близко прилегающему к шарнирной опоре, действующие усилие приводится к вертикально распределенным силам интенсивностью

и сосредоточенным силам и (см. рис. 36). Эти усилия возникают в точках , принадлежащие углам плиты. Им должны соответствовать равные по величине и противоположно направленные реакции на шарнирной опоре.

Выявленное наличие в углах плит сосредоточенных реактивных сил (на самом деле, по-видимому, сил, распределенных на небольших участках, но большой интенсивности) подтверждается экспериментально.

Реактивную распределенную нагрузку, действующую на краю CТ, можно выразить через прогибы срединной поверхности плиты:

(5.24)

Если бы шарнирное опирание было бы не на краю CT, а на краю TP, то для этого края было бы задано:

1. при (5.25)

2. при (5.26)

Величина распределенной по этому краю вертикальной реактивной нагрузки может быть найдена после отыскания решения уравнения (5.18), удовлетворяющего всем граничным условиям задачи. Для этого нужно продифференцировать прогибы по формуле, аналогичной формуле (5.24)

(5.27)

В углах С и T обязательно появятся сосредоточенные реактивные силы :

Если прямоугольная плита шарнирно оперта по всем четырем граням, то в ее углах появятся реактивные опорные силы:

(5.28)

При обычной направленной вниз нагрузке реактивные силы, действующие в углах плит, будут направлены тоже вниз, т. е. они будут противодействовать подъему углов плиты вверх.

КРАЙ, СВОБОДНЫЙ ОТ ОПИРАНИЯ

Если край CT свободен от опирания, т. е. если на этот край не приложены никакие нагрузки, препятствующие прогибам или поворотам сечения плиты, то здесь должны, вообще говоря, выполняться три условия:

Не имея возможности в рамках приближенной теории удовлетворить одновременно всем этим условиям, их смягчают, подчиняя решение задачи только двум условиям:

Последним условием заменяют более жесткое условие

Выражая граничные условия через прогибы срединной поверхности, найдем, что для края, свободного от опирания и параллельного оси должно быть;

(5.29)

Для края свободного от опирания и параллельного оси аналогично должно быть:

(5.30)

В случае, если к краю, свободному от опирания, приложена распределенная свободная нагрузка, вторые из граничных условий (5.29) и (5.30) изменяются. Так, например, для края CT должны быть выполнены следующие условия

(5.31)

УПРУГО ОПЕРТЫЙ ИЛИ УПРУГО ЗАЩЕМЛЕННЫЙ КРАЙ

Если, например, край плиты, например, при жестко соединен с поддерживающей её балкой (см. рис. 35). Тогда прогиб и угол поворота края относительно оси параллельной оси не будут равны нулю и одновременно

Формулирование граничных условий с учетом жесткостей поддерживающей балки при её изгибе и кручении можно найти во многих монографиях, например, в книге С. П. Тимошенко, С. Войновского-Кригера «Пластинки и оболочки» [3].