- •Декабрь 1964
- •§ 2. Картина интерференции от двух щелей
- •§ 3. Рассеяние на кристалле
- •§ 4. Тождественные частицы
- •Глава 2
- •§ 2. Состояния с двумя бозе-частицами
- •§ 3. Состояния с n бозе-частицами
- •§ 4. Излучение и поглощение фотонов
- •§ 5. Спектр абсолютно черного тела
- •§ 6. Жидкий гелий
- •§ 7. Принцип запрета
- •Спин единица
- •§ 2. Опыты с профильтрованными атомами
- •§ 3. Последовательно соединенные фильтры Штерна — Герлаха
- •§ 4. Базисные состояния
- •§ 5. Ннтерферирующив амплитуды
- •§ 6. Механика квантовой механики
- •§ 7. Преобразование к другому базису
- •§ 8. Другие случаи
- •Спин одна вторая
- •§ 2. Преобразование к повернутой системе координат
- •§ 3. Повороты вокруг оси z
- •§ 4. Повороты на 180° и па 90° вокруг оси у
- •§ 5. Повороты вокруг оси х
- •§ 6. Произвольные повороты
- •§ 2. Равномерное движение
- •§ 3. Пoтeнциальная энергия; сохранение энергии
- •§ 4. Силы; классический предел
- •§ 5. «Прецессия» частицы со спином 1/2
- •§ 2. Разложение векторов состояний
- •§ 3. Каковы базисные состояния мира?
- •§ 4. Как состояния меняются во времени
- •§ 5. Гамилътонова матрица
- •§ 6. Молекула аммиака
- •Аммиачный мазер
- •§ 2. Молекула в статическом электрическом поле
- •§ 3. Переходы в поле, зависящем от времени
- •§ 4. Нереходы при резонансе
- •§ 5. Переходы вне резонанса
- •§ 6. Поглощение света
- •§ 2. Ядерные силы
- •§ 3. Молекула водорода
- •§ 4. Молекула бензола
- •§ 5. Красители
- •§ 6. Гамильтониан частицы со спином 1/2 в магнитном поле
- •§ 7. Вращающийся электрон в магнитном поле
- •Глава 9
- •Состояниями
- •§ 2. Спиновые матрицы как операторы
- •§ 3. Решение уравнений для двух состояний
- •§ 4. Состояния поляризации фотона
- •§ 5. Нейтральный к-мезон**
- •§ 6. Обобщение на системы с n состояниями
- •§ 2. Гамильтониан основного состояния водорода
- •§ 3. Уровни энергии
- •§ 4. Зеемановское расщепление
- •§ 5. Состояния в магнитном поле
- •§ 6. Проекционная матрица для спина 1
§ 3. Решение уравнений для двух состояний
Теперь можно писать наше уравнение двух состояний в раз-jличных видах, например:
или вот так:
Оба они означают одно и то же. Для частицы со спином 1/2 в магнитном поле гамильтониан Н дается уравнением (9.8) или (9.13). I Если поле направлено по г, то, как мы уже много раз видели, решение заключается в том, что состояние |>, каким бы оно ни было, прецессирует вокруг оси z (в точности, как если бы взять \ физическое тело и вращать его как целое вокруг оси z) с угловой
скоростью, вдвое большей, чем B/h. Все это, конечно, относится и к магнитному полю, направленному под другим углом, ведь физика от системы координат не зависит. Если магнитное поле время от времени как-то сложно меняется, то такое положение пещей можно анализировать следующим образом. Пусть вначале спин был в направлении +z, а магнитное поле — в направлении х. Спин начал поворачиваться. Если выключить x-поле, поворот прекратится. Если теперь включить z-поле, спин начнет поворачиваться вокруг z и т. д. Значит, смотря по тому, как меняются поля во времени, вы можете представить себе, каким будет конечное состояние — по какой оси оно будет направлено. Затем можно отнести это состояние к первоначальным |+> и |-> по отношению к z, пользуясь проекционными формулами, полученными в гл. 8 (или в гл. 4). Если в конечном состоянии спин направлен по (, ), то амплитуда того, что спин будет смотреть вверх, равна, а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, равна. Это решает любую задачу. Таково словесное описание решений дифференциальных уравнений.
Только что описанное решение достаточно общо для того. чтобы справиться с любой системой с двумя состояниями. Возьмем наш пример с молекулой аммиака, на которую действует электрическое поле. Если система описывается на языке состояний |I> и |II>, то уравнения выглядят так:
Вы скажете: «Нет, там, я помню, стояло еще E0». Неважно, мы просто сдвинули начало отсчета энергий, чтобы Е0 стало равно нулю. (Это всегда можно сделать, изменив обе амплитуды в одно и то же число раз — в eiE0T/h; так можно избавиться от любой постоянной добавки к энергии.) Одинаковые уравнения обладают одинаковыми решениями, поэтому не стоит решать их вторично. Если взглянуть на эти уравнения и на (9.1), то их можно отождествить между собой следующим образом. Состояние |+> обозначим |I>, состояние |-> обозначим |Н>. Это вовсе не значит, что мы выстраиваем аммиак в пространстве в одну линию или что |+> и |-> как-то связаны с осью z. Это все делается чисто искусственно. Имеется искусственное пространство, которое можно было бы назвать, например, «модельным пространством молекулы аммиака» или еще как-нибудь иначе. Это просто трехмерная «диаграмма», и направление «вверх» означает пребывание молекулы в состоянии |I>, а направление «вниз» по фальшивой оси z означает пребывание молекулы в состоянии |II>. Тогда уравнения отождествляются следующим образом.
Прежде всего вы видите, что гамильтониан может быть записан через матрицы сигма:
Если сравнить это с (9.1), то Bz будет соответствовать -А, а Вх будет соответствовать -. В нашем «модельном» пространстве возникает, стало быть, постоянное поле В, направленное по оси z. Если есть, кроме этого, электрическое поле , меняющееся со временем, то у поля В появится и пропорционально меняющаяся x-компонента. Таким образом, поведение электрона в магнитном поле с постоянной составляющей в направлении z и колеблющейся составляющей в направлении х математически во всем подобно и точно соответствует поведению молекулы аммиака в осциллирующем электрическом поле, К сожалению, у нас нет времени входить глубже в детали этого соответствия или разбираться в каких-либо технических деталях. Мы только хотели подчеркнуть, что можно сделать так, чтобы все системы с двумя состояниями были аналогичны объекту со спином 1/2, прецессирующему в магнитном поле.