- •K читателям русского издания
- •Предисловие р. Фейнмана
- •Предисловие
- •Глава 1 атомы в движении § 1. Введение
- •§ 2. Вещество состоит из атомов
- •Фиг. 1.2. Пар под микроскопом.
- •§ 3. Атомные процессы
- •§ 4. Химические реакции
- •Глава 2 основные физические воззрения § 1. Введение
- •§ 2. Физика до 1920 года
- •§ 3. Квантовая физика
- •§4. Ядра и частицы
- •Глава 3 физика и другие науки § 1. Введение
- •§ 2. Химия
- •§ 3. Биология
- •§ 4. Астрономия
- •§ 5. Геология
- •§ 6. Психология
- •§ 7. С чего все пошло?
- •Глава 4 сохранение энергии § 1. Что такое энергия?
- •§ 2. Потенциальная энергия тяготения
- •§ 3. Кинетическая энергия
- •§ 4. Прочие формы энергии
- •Глава 5 время и расстояние § 1. Движение
- •§ 2. Время
- •§ 3. Короткие времена
- •§ 4. Большие времена
- •§ 5. Единицы и стандарты времени
- •§ 6. Большие расстояния
- •§ 7. Малые расстояния
- •Глава 6 вероятность
- •§ 1. Вероятность и правдоподобие
- •§ 2. Флуктуации
- •§ 3. Случайные блуждания
- •§ 4. Распределение вероятностей
- •§ 5. Принцип неопределенности
- •Глава 7 теория тяготения § 1. Движение планет
- •§ 2. Законы Кеплера
- •§ 3. Развитие динамики
- •§ 4. Ньютонов закон тяготения
- •§ 6. Опыт Кавендиша
- •§ 7. Что такое тяготение?
- •§ 8. Тяготение и относительность
- •Глава 8 движение § 1. Описание движения
- •§ 2. Скорость
- •§ 3. Скорость как производная
- •§ 4. Расстояние как интеграл
- •§ 5. Ускорение
- •Глава 9 динамические законы ньютона § 1. Импульс и сила
- •§ 2. Компоненты скорости, ускорения и силы
- •§ 3. Что такое сила?
- •§ 4. Смысл динамических уравнений
- •§ 5. Численнов решение уравнений
- •§ 6. Движение планет
- •Глава 10 закон сохранения импульса § 1. Третий закон Ньютона
- •§ 2. Закон сохранения импульса
- •§ 3. Импульс всё-таки сохраняется!
- •§ 4. Импульс и энергия
- •§ 5. Релятивистский импульс
- •Глава 11 векторы § 1. Симметрия в физике
- •§ 2. Переносы начала
- •§ 3. Вращения
- •§ 4. Векторы
- •§ 5. Векторная алгебра
- •§ 6. Законы Ньютона в векторной записи
- •§ 7. Скалярное произведение векторов
- •Глава 12 характеристики силы § 1, Что есть сила?
- •§ 2. Трение
- •§ 3. Молекулярные силы
- •§ 4. Фундаментальные силы. Поля
- •Итак, закон силы для покоящихся зарядов имеет вид
- •§5 Псевдосилы
- •§ 6. Ядерные силы
- •§ 2. Работа, выполняемая тяжестью
- •§ 3. Сложение энергий
- •§ 4. Поле тяготения больших тел
- •§ 2. Движение при наложенных связях
- •§ 3. Консервативные силы
- •§ 4. Неконсервативные силы
- •§ 5. Потенциалы и поля
§ 5. Ускорение
Следующий шаг на пути к уравнениям движения – это введение величины, которая связана с изменением скорости движения. Естественно спросить: а как изменяется скорость движения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за 10 сек скорость 90 км/час. Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за 1 сек. Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле v=9,8t (см. табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за 1 сек. Эта величина называется ускорением.
Таким образом, ускорение определяется как быстрота изменения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно подготовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записывается в виде производной от расстояния. Если теперь продифференцировать формулу v=9,8 t, то получим ускорение падающего тела
a=dv/dt=9,8. (8.9)
(При дифференцировании этого выражения использовался результат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от Bt равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту постоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8 t равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела постоянно возрастает на 9,8 м/сек за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным только потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорционально силе.
В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости:
s=At3+Bt+C.
Для скорости v–ds/dt мы получили формулу
v=3At2+B.
Так как ускорение – это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференцировать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы не будем проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции 5t2, причем в результате коэффициент удваивался, a t2 превращалось в t. Вы можете сами убедиться в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, производная от ЗAt2 будет равна 6Аt. Перейдем теперь к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная от постоянной будет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение никакого вклада. Окончательный результат: a=dv/dt=6At.
Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением g, то его скорость v в любой момент времени t будет равна
v=gt,
а расстояние, пройденное им к этому моменту времени,
s=1/2gt2.
Заметим еще, что поскольку скорость – это ds/dt, а ускорение – производная скорости по времени, то можно написать
Так что теперь мы знаем, как записывается вторая производная.
Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что a=dv/dt. Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения.
Все предыдущее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движении в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы Р в трехмерном пространстве. Эта глава началась с обсуждения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь между скоростью и изменением расстояния со временем и связь между ускорением и изменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уж потом обобщить его на случай трех измерений. Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положение частицы задается двумя числами (координатами) х и у, каждое из которых является соответственно расстоянием до оси у и до оси х (фиг. 8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две координаты заданы как функции времени. (Обобщение на трехмерный случай требует введения еще одной оси, перпендикулярной двум первым, и измерения еще одной координаты г. Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координатных плоскостей.) Как определить скорость частицы? Для этого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направлению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая скорости, или x-компонента, будет равна производной по времени от координаты х, т. е.
vx=dx/dt (8.11)
а вертикальная составляющая, или y-компонента, равна
vy=dy/dt (8.12)
В случае трех измерений необходимо еще добавить
vz=dz/dt. (8.13)
Как, зная компоненты скорости, определить полную скорость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных коротким интервалом времени t = t2-t1 и расстоянием s. Из фиг. 8.3 видно, что
(Значок соответствует выражению «приблизительно равно».)
Фиг. 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его скорости.
Средняя скорость в течение интервала t получается простым делением: s/t. Чтобы найти точную скорость в момент t, нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить t к нулю. В результате оказывается, что
В трехмерном случае точно таким же способом можно получить
Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x-компонента ускорения ах определяется как производная от x-компоненты скорости vx (т. е. ax=d2x/dt2 – вторая производная по времени) и т. д.
Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешанного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью u и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g. Что это за движение? Так как vx=dxldt=u и, следовательно, скорость vx постоянна, то
x=ut, (8.17)
а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно -g, то координата у падающего шара дается формулой
y= -1/2gt2. (8.18)
Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами x и y? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку t=x/u, после чего находим
y=-(g/2u2)x2 (8.19)
Эту связь между координатами х и у можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Если изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4).
Фиг. 8.4. Парабола, которую описывает падающее тело, брошенное с горизонтальной начальной скоростью.
Так что любое свободно падающее тело, будучи брошенным в некотором направлении, движется по параболе.