1.10. Закон сохранения энергии. Границы движения.

10.1. Полная механическая энергия. Система с консервативными силами.

Пусть система тел (материальных точек) перешла по какому-либо пути в потенциальном поле из положения в положение . Чуть раньше было показано, что при перемещении из точки 1 в точку 2 работа силового поля выражается через приращение кинетической энергии:

. (10.1)

С другой стороны, для консервативных сил работа равна убыли потенциальной энергии:

. (10.2)

Приравнивая выражения (10.1) и (10.2), получаем следующее равенство:

. (10.3)

Отсюда для замкнутой системы, содержащей произвольное число частиц, получаем

. (10.4)

Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией:

. (10.5)

Закон сохранения полной механической энергии:

. (10.6)

В системе лишь с консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается постоянной (неизменной).

В такой системе могут лишь происходить превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может.

Подчеркнем, что это утверждение справедливо только в инерциальной системе отсчета.

2. Система с диссипативными силами.

Пусть в системе наряду с консервативными силами действуют диссипативные силы (например, силы трения). Тогда полную работу всех сил при перемещении системы из точки 1 в точку 2, которая, по-прежнему, равна изменению кинетической энергии, можно записать как:

(10.7)

Для консервативных сил имеем:

(10.8)

Откуда получаем следующий закон изменения полной механической энергии:

(10.9)

Таким образом, при наличии в системе диссипативных сил полная механическая энергия замкнутой системы уменьшается, т.к. работа диссипативных сил отрицательна.

Пример. Банка с зеленым горошком.

10.3. Излучение квантов. Эффект Мессбауэра.

Рассмотрим в качестве иллюстрации применения законов сохранения импульса и энергии эффект

Мессбауэра.

Согласно квантовомеханическим представлениям атомные ядра (или атомы) имеют дискретные уровни энергии. Если ядро (атом) находится в возбужденном состоянии, то затем система переходит в нижнее состояние с испусканием  кванта.

Из закона сохранения энергии, записанного без учета движения ядра:

,

где - частота фотона.

Однако атом может двигаться, поэтому закон сохранения энергии должен учитывать кинетическую энергию атомов в состояниях 1 и 2 ( - масса атома):

. (10.10)

Закон сохранения импульса:

- (10.11)

импульс, уносимый фотоном.

Здесь волновой вектор фотона, его модуль - волновое число:

.

Выразим из (10.11) и подставим в (10.10):

.

В рассматриваемом классе задач выполняется условие (масса атома велика, а фотон - безмассовая частица). Поэтому, раскрывая скобки и пренебрегая квадратом фотонного импульса, можем записать

.

Итак, величина зависит от скорости атома в конечном состоянии и описывает отдачу (откат) атома при испускании кванта. Отдельные атомы испытывают разную отдачу. Максимальное значение

.

Поэтому энергия испускаемого кванта определяется выражением

, (10.12)

где, как следует из опыта, .

Т.о., в спектре излучения атомов вместо четко определенной линии на частоте наблюдается уширенная за счет отдачи атому и его движения линия с полушириной

.

Минимальное значение, которое удалось получить в газах, составляет .

Идея Мессбауэра (1958 г.).

Р. Мессбауэр (R. Mössbauer) предложил рассматривать атом, помещенный в кристаллическую решетку. Такой атом не участвует в поступательном движении и, более того, отдачу при испускании кванта будет испытывать не отдельный атом, а вся решетка, с которой этот атом жестко связан.

Последнее означает, что значение массы в знаменателе

выражения (10.12) резко возрастает при и этой

дробью с большой точностью можно пренебречь. Тогда

.

Для кристаллов удалось получить .

В 1961 г. немецкому физику Р. Мессбауэру была присуждена

Нобелевская премия по физике.

10.3. Границы движения.

Вернемся опять к системе, в которой действуют только консервативные силы. Для простоты рассмотрим одномерное движение, т.е. перемещение материальной точки осуществляется только вдоль определенной линии (в частности, прямой), а её положение задается одной координатой.

При движении в поле консервативных сил справедлив закон сохранения энергии:

. (10.10)

Поскольку кинетическая энергия по своему смыслу всегда положительна (), то из (10.10) следует, что полная энергия . Это означает, что частица при заданном значении полной механической энергии может находиться только в той области изменения координат и потенциального рельефа, где выполняется условие . Условие , т.е. равенство полной и потенциальной энергии частицы служит для определения границ её движения.

Определение: Движение, при котором частица остается в конечной области пространства, называется финитным движением.

П ример: На рисунке приведена зависимость потенциальной энергии от координаты . Прямая пересекает кривую в двух точках с координатами и . Т. к. движение частицы возможно лишь в области, где , то точки и , называемые точками поворота, определяют границы движения. В этих точках полная механическая энергия частицы равна потенциальной , а кинетическая энергия обращается в нуль (), т.е. частица останавливается. Минимальной потенциальной энергией и максимальной кинетической энергией частица обладает в

точке с координатой . Справа от точки на частицу действует сила, направленная против оси , а слева – по направлению оси, т.е. сила, действующая на частицу, все время направлена к точке . Это следует из выражения

,

согласно которому сила всегда направлена в сторону убывания потенциальной энергии.

В рассмотренном примере частица совершает колебательное движение. Чем больше (выше) полная энергия, тем шире область движения (амплитуда колебаний) точки.

Положение равновесия определяется точкой, где сила, действующая на частицу, обращается в нуль:

.

Если в точке экстремума потенциальная энергия достигает минимума, то равновесие является устойчивым, поскольку возвращающая сила направлена в сторону положения равновесия, и, наоборот, при максимуме потенциальной энергии – равновесие неустойчивое.

Рассмотрим потенциал более сложной формы. Пусть снова частица движется в одномерном потенциальном поле (см. рисунок). Рассмотрим движение частицы с полной механической энергией . Прямая пересекает «потенциальную кривую» в трех точках и . Движение частицы с энергией возможно только в областях или , причем переходить из одной области в другую она не может. Этому препятствует потенциальный барьер в области . Частица с энергией , находящаяся в области , совершает финитное движение, т.е. движение, происходящее в ограниченной части пространства. Она оказывается запертой в потенциальной яме (область ) и совершает колебания между точками и , называемыми точками поворота. Частица, находящаяся в области , достигнув точки , повернет обратно и будет «уходить на бесконечность». Это инфинитное движение. Для частицы с энергией доступна вся область пространства, правее точки . Её движение является инфинитным. Если значение потенциальной функции с ростом асимптотически приближается к нулю, то скорость частицы на бесконечности равна .