3. Расчет вероятности появления зазоров и натягов в переходной посадке

Переходные посадки используют в неподвижных разъемных соединениях для центрирования сменных деталей. Эти посадки характеризуются малыми зазорами и натягами.

1. Содержание работы

По данным табл. 1.1 и 3.1 приложения необходимо:

• рассчитать параметры заданной переходной посадки (предельные размеры сопрягаемых деталей, предельные натяг и зазор, допуск посадки;

• построить схему расположения полей допусков заданной посадки;

• определить вероятность получения зазоров и натягов в соединении

• построить кривую нормального распределения для заданной посадки;

• привести примеры использования переходных посадок в пищевом машиностроении.

В расчетах использовать следующие допущения:

• рассеяние размеров валов и размеров отверстий, образующих посадку, подчиняется нормальному закону распределения,

• величина допуска детали соответствует зоне рассеивания закона нормального распределения, т.е. Td = 6σ_в (TD = 6σ_отв);

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , если её плотность вероятности f(x) имеет вид:

Кривая нормального распределения  f(x)  (нормальная кривая или кривая Гаусса) приведена на рис.2

Рис. 2

Математическое ожидание M_x случайной величины X, распределённой по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а её дисперсия - квадрату параметра , т.е.

т.к. если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале

3.2. Общая характеристика сопряжения деталей

Прямозубое зубчатое колесо 4 (рис. 1) для передачи крутящего момента установлено на полый вал 2 заданного механизма.

Исходные данные:

• номинальный диаметр посадки приведен в табл. 1.1 приложения;

• условное обозначение заданной посадки - табл. 3.1 приложения.

3. Порядок расчета вероятности появления зазоров и натягов в переходной посадке

3.3.1. По стандарту (табл. 4.4) определяют значения допусков (Тd, TD) и основных отклонений (табл. 4.5, табл. 4.6) вала и отверстия, далее рассчитывают недостающие предельные отклонения, используя соотношение

TD(Td) = ES(es) - EI(ei).

2. Рассчитывают предельные и средние размеры вала (отверстия);

Dmax (dmax) = D (d) + ES(es),

Dmin (dmin) = D (d) + EI(ei),

Dm = D + (ES +EI)/2,

dm = d + (es +ei)/2.

2. Строят схему расположения полей допусков заданной посадки

в выбранном масштабе.

2. Рассчитывают предельные натяг Nmax и зазор Smax, допуск

посадки T(N,S)

Nmax = dmax - Dmin = es - EI,

Smax = Dmax - dmin = ES - ei,

T(N,S) = Nmax + Smax = TD + Td. (3.1)

2. Поскольку распределение натягов и зазоров в соединениях

устанавливают на основе правил суммирования независимых случайных величин, к которым относятся отклонения размеров сопрягаемых деталей, то в соответствии с принятыми выше допущениями - математическое ожидание М_х и среднее квадратическое отклонение σ закона нормального распределения натягов и зазоров переходной посадки:

M_x = Mx_в - Mx_отв = d_m - D_m = e_c - E_c = (es+ei)/2 - (ES + EI)/2 (3.2)

(3.3)

2. По полученным значениям М_х и σ строят кривую нормального

распределения натягов-зазоров переходной посадки (координата х оси симметрии кривой нормального распределения (рис. 2) равна значению Мх = a). На рисунке дополнительно на оси х следует указать координаты Nmax и Smax а также (Исходя из формулы (3.2) натяги откладываем в положительном направлении от «0», а зазоры в отрицательном направлении),

Вероятность распределения натягов или зазоров в пределах от 0 до

значения х = a можно определить с помощью значений функции Ф(z) (табл. 3.2), где z - предел интегрирования

;

2. Вероятность получения наиболее вероятных натягов P_N для

заданной посадки в интервале [– 3σ; + 3σ]

, (3.4)

где Ф(3) = 0,4986, а знак " + " в формуле (3.4) может измениться, так как он зависит от знака M_x в формуле (3.2), поскольку Ф(–-z) = – Ф(z). Эта же формула (3.4) служит для расчета вероятности появления наиболее вероятных зазоров P_S, но с обратным знаком M_x..

2. Поскольку интервал [– 3σ; + 3σ] не совпадает с интервалом

значений х = [– S_max; + N_max], соответствующего значению допуска переходной посадки по формуле (3.1), то принимая всю площадь под кривой нормального распределения равной 1 (вероятность достоверного события), вероятность получения натягов P_N для заданной посадки будет

,

а зазоров P_S

.