5.2. Логические операции

Рассмотрим расширения определённых на множестве {0, 1} логических операций &, , ,  на интервал [0, 1].

Конъюнкция и дизъюнкция

Операция логического умножения обобщается следующим образом:

Функция называется треугольной нормой, если для всех a, b, c  [0, 1] справедливы соотношения:

1. a  1 = a (1 – единица);

2. если a  b, то a  c  b  c (монотонность);

3. a  b = b  a (коммутативность);

4. (a  b)  с = a  (b  c) (ассоциативность).

Заметим, что, в силу неравенств 0  0x  01 = 0, имеет место: 0  x = 0.

Наиболее часто используются следующие треугольные нормы:

1. a  b = min (a, b) (Заде);

2. a * b = max(0, a + b – 1) (Лукасевич);

3. a  b = ab (произведение чисел).

Аналогично обобщается логическая сумма.

Функция называется треугольной конормой, если для всех a, b, c  [0, 1] справедливы соотношения:

1. 0  a = a (0 – нуль);

2. если a  b, то a  c  b  c (монотонность);

3. a  b = b  a (коммутативность);

4. (a  b)  с = a  (b  c) (ассоциативность).

Примеры треугольных конорм:

1. a  b = max(a, b) (Заде);

2. a  b = min(a + b, 1) (Лукасевич);

3. a  b = a + b – ab (алгебраическая сумма).

Отрицание

Наиболее общее определение функции отрицания : [0,1]  [0,1] предполагает, что выполнены, по крайней мере, два условия:

1. (0) = 1; (1) = 0;

2. если a  b, то (a)  (b).

Примеры отрицаний:

1. (Заде);

2. (квадратичное отрицание);

3. (пороговое отрицание);

4. , -1 <  <  (Сугено).

Две операции  и  называются -двойственными, если

и .

Например, операции:

и

-двойственны (относительно отрицания Сугено).

Импликация

Пусть  – треугольная норма. Импликацией , связанной с , называется такое число, что для всех x  [0, 1] справедлива следующая эквивалентность:

X  (a  b), если и только если X  a  b.

В силу монотонности треугольной нормы значение импликации будет равно:

a  b = sup {x  [0, 1] : x  a  b }.

Примеры импликаций

1. Cвязанной с треугольной нормой Лукасевича будет импликация:

a  b = min {1 – a + b, 1}.

2. C треугольной нормой заде связана импликация Гёделя:

3. C произведением ab чисел связана импликация Гогена:

Оператор импликации не всегда связан с треугольной нормой. В частности, импликация Клини-Дайнса определяется по формуле:a  b, через операцию a  b = max(a,b):

a  b = max(1-a, b).

Аналогичным образом, с помощью формулы a  b определяется импликация Райхенбаха, где a  b = a + b – ab сложение вероятностей:

a  b = 1 – a + ab.

Импликация Заде аналогична последней:

a  b = max(1 – a, min(a, b)).

Заметим, что во всех этих случаях отрицание можно определить как a = a  0.

5.3. Нечеткие отношения

Напомним, что отношением между множествами U₁, U₂, …, U_n называется произвольное подмножество R  U₁  U₂ … U_n . Поскольку отношение может быть задано с помощью предиката (характеристической функции этого подмножества), то естественным является следующее определение.

Пусть U₁, U₂, …, U_n – универсумы. Нечетким отношением между U₁, U₂, …, U_n называется произвольная функция . Аналогично теоретико-множественным операциям определяются операции пересечения и объединения. Ограничимся рассмотрением нечетких бинарных отношений ,   F(X  Y). Положим:

(  )(x, y) = max ((x, y), (x, y)), (  )(x, y) = min ((x, y), (x, y)).

Эти операции обладают всеми свойствами операций max и min, они коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны.

Множество F(X  Y) отношений между X и Y упорядочено относительно отношения включения нечетких множеств на X  Y. Таким образом,    тогда и только тогда, когда (x, y)  (x, y) для всех x  X и y  Y.

Пусть   F(X  Y) и   F(Y  Z). Определим композицию   F(Y  Z) как . Имеют место соотношения:

1. () = (),

2. ,

где принимает значения при , в других случаях ,.

Обратное нечёткое отношение определяется как , для всех .

Нечёткое отношение   F(X  Y) называется рефлексивным, если . Нечётким отношением эквивалентности называется , удовлетворяющее условиям:

1. (рефлексивность);

2. (симметричность);

3. (транзитивность).

Если условие 2 заменить на условие антисимметричночти , то получим нечёткое отношение порядка.

Заметим, что композицию можно определить с помощью произвольной треугольной нормы, полагая:

.

Так мы получим другие определения отношений эквивалентности и порядка.