4.4. Модели теории первого порядка

Среди моделей языка первого порядка выделяются модели, удовлетворяющие набору аксиом. Этот набор и будет определять теорию, а модели, для которых выполнены аксиомы, будут моделями теории.

Теорией (первого порядка) Т в языке L называется произвольное множество предложений языка L.

Таким образом, теория получается из исчисления предикатов добавлением некоторого множества предложений T.

Моделью теории Т называется модель А языка L, такая, что A |=  для всех   Т. Теория Т непротиворечива, если она состоит из непротиворечивого множества предложений. Если существует модель теории Т, то Т называется выполнимой. Множеством аксиом теории Т называется всякое её подмножество   Т такое, что для каждого предложения   Т существует вывод  . Если существует конечное множество аксиом, то Т называется конечно аксиоматизируемой.

Рассмотрим теории наиболее часто встречающихся моделей.

Теория частично упорядоченных множеств

Язык L = {} состоит из одного двухместного предиката. Теория имеет 3 аксиомы:

1) xyz (x  y & y  z  x  z);

2) xy (x  y & y  x  x = y);

3) x (x  x);

Моделями этой теории являются частично упорядоченные множества. Если присоединить аксиому:

4) xy (x  y  y  x),

то получим теорию, моделями которой служат линейно упорядоченные множества.

Теория булевых алгебр

Язык L = {, , } состоит из символов двух бинарных операций и одной унарной. Теория имеет аксиомы 1 – 6 (разд. 1.11) (все свободные переменные в этих аксиомах превращены в связанные с помощью кванторов всеобщности). Моделями будут булевы алгебры.

Теория групп

Пусть состоит из символов бинарной и унарной операций и константы. Теория групп определяется аксиомами:

1) xyz (x  (y  z) = (x  y)  z);

2) x (e  x = x & x  e = x);

3) .

Моделями служат группы. Если добавить аксиому коммутативности:

4) xy (x  y = y  x),

то получим теорию, моделями которой являются абелевы группы.

Теория чисел

Пусть L = {+,  , S, 0} состоит из двух бинарных операций + и  , унарной операции S и символа константы 0. Теория чисел задаётся аксиомами Пеано:

1. x ((0 = Sx));

2. xy(Sx = Sy  x = y);

3. x + 0 = x;

4. x + Sy = S(x + y);

5. x  0 = 0;

6. x  Sy = (x  y) + x;

7. для каждой формулы , не содержащей связанных вхождений .

Аксиома 7 (аксиома индукции) состоит в действительности из бесконечного числа предложений, каждое из которых соответствует некоторой формуле  языка L.

Стандартной моделью теории чисел является модель (, +,  , S, 0) с обычными операциями сложения и умножения чисел. Операция S интерпретируется как функция S(x) = x + 1. Существуют и нестандартные модели теории чисел.

Теория множеств

Пусть L = {}. Добавим логическую связку   , служащую сокращением для (  ) & (  ). Запишем в виде формул аксиомы Цермело-Френкеля(разд. 1.2). Эти аксиомы определяют теорию ZF:

1. xy ((y  x)) (пустое множество);

2. xyz ((z  x  z  y)  (x = y)) (экстенсиональность);

3. uvxz (z  x  z = u  z = v) (пара);

4. xyzu (u  z & z  x  u  y) (объединение);

5. xyu (v(v  u  v  x)  u  y) (множество подмножеств);

6. x (y (y  x) & y (y  x  z (y  z & z  x))) (бесконечность);

7. (схема аксиом выделения);

8. (схема аксиом подстановки);

9. ux (x  u & v((v  x & v  u))) (регулярность).

Если добавить к этой системе аксиом аксиому выбора, то получится теория ZFC. Существуют различные модели теории множеств. Далее мы увидим, что существуют модели, в которых число всех множеств счётно.