5. Нечеткая логика

Многие понятия, определяемые с помощью человеческого языка, являются расплывчатыми. Например, попытка дать определение кучи камней приводит к следующей антиномии: «Один или два камня – не куча; с другой стороны, если из кучи удалить камень, то куча останется».

Л. Заде предложил приписывать объектам степень выполнения определяемого свойства, принимающую значения в единичном интервале [0, 1]. Эта идея была положена в основу теории нечетких множеств. Она позволила моделировать человеческие рассуждения и операции над нечеткими свойствами объектов.

5.1. Нечеткие множества

Пусть U – произвольное множество. Будем рассматривать его подмножества и U будем называть универсумом. Каждое подмножество описывается с помощью свойств его элементов. Например, в универсуме натуральных чисел  подмножество {0, 1, 2, 3, 4, 5} задаётся как

A = {n  : n  5}.

Его можно определить с помощью характеристической функции , принимающей значения:

Проблема возникает при попытке определения подмножества чисел, указывающих значение возраста, при которых человек считается старым.

Пусть [0, 1] = {r  R : 0  r  1} – единичный отрезок действительных чисел.

Определение. Нечетким множеством  на универсуме U называется произвольная функция  : U  [0, 1]. Множество всех нечетких множеств на U обозначается через F(U).

Заметим, что часто понятия нечёткого множества и определяющей его функции различают. В этом случае, говоря о нечётком множестве A, имеют в виду функцию . Обозначают эту функцию через и называют её функцией принадлежности.

Значение (x) называется степенью принадлежности x нечеткому множеству . Например, нечеткое множество «старый» определяется как функция , для которой (70) = 1, а (0) = 0, ибо ясно, что человек семидесяти лет является старым, а не достигнувший одного года младенец – нет. Можно считать, что (20) = 0. Возрасту 45 лет можно приписать значение (45) = 0.5, и далее продолжить функцию  линейно на интервале [20, 70].

Представление нечетких множеств

Существуют различные методы описания функции  : U  [0, 1]. Если U – конечное множество, то функция будет конечным множеством пар:

 = {(x₁, (x₁)), …, (x_n, (x_n))}.

и может быть записана как

 = (x₁)/x₁ + … + (x_n)/x_n

или в виде таблицы:

x1	x2	…	xn
(x1)	(x2)	…	(xn)

В случае универсума R действительных чисел (x) задаётся аналитически и изображается в виде графика. Например, будет гауссианой, с (a) = 1. Лингвистическое выражение «большое число» обозначает понятие, зависящее от параметров, и может быть интерпретировано с помощью функции:

Определение. Пусть и . Множество

называется -срезом нечеткого множества .

Теорема 1. Пусть , , . Тогда

1. 

2. если  < , то ,

3. .

Теорема 2 (о представлении). Пусть . Тогда

.

Нечеткие множества называются равными, если для всех ; ₁ называется нечетким подмножеством ₂, если для всех , в этом случае применяется запись: .

Операции над нечеткими множествами

Пусть . Операции определяются следующим образом:

(дополнение);

(пересечение);

(объединение);

(ограниченное произведение);

(ограниченная сумма);

(алгебраическое произведение);

(алгебраическая сумма);

(разность);

(концентрирование).

Поскольку каждое нечеткое множество  можно представить как семейство -срезов, то операции можно выразить через обычные операции над множествами. В частности:

(дополнение);

(пересечение);

(объединение);

Принцип обобщения

Произвольная функция между множествами может быть расширена до функции следующим образом:

.

Этот метод расширения называется принципом обобщения. Предполагается, что супремум пустого множества равен 0. С помощью принципа обобщения можно расширить операцию сложения , полагая для любых :

Нечеткое множество называется выпуклым, если все его -срезы выпуклы. Легко видеть, что сумма нечётких выпуклых множеств ₁ и ₂ из R будет выпуклой.