4.2. Язык логики предикатов

Определим синтаксис языка первого порядка. Алфавит языка первого порядка состоит из логических символов , , , , из символов переменных и из нелогических символов. К логическим символам отнесём символы скобок и запятой. В качестве символов переменных будем использовать также x, y, z, u, v и т.д. Логические символы одинаковы для всех языков первого порядка. Нелогическими называются символы операций, символы предикатов и символы констант. Язык первого порядка L задаётся как множество нелогических символов. Если L = , то L называется языком чистого равенства.

Каждому s  L ставится в соответствие #(s)  . Если s – константа, то #(s) = 0. Если R – символ предиката, такого, что #(R) = n, то R называется символом n-местного предиката. Если f – символ операции, и #(f) = n, то f называется символом n-арной операции. Для предикатов и операций число #(R) (соответственно #(f)) больше 0, и оно называется местностью (соответственно арностью). Объединение множеств символов операций и констант составляет множество функциональных символов, позволяющее строить термы языка L на множестве .

К предикатам языка L мы всегда относим бинарный предикат (равенство). Определим формулы языка L.

Атомной формулой языка L называется выражение вида: , где – термы языка L, а R  L – символ n-местного предиката. В частности, выражение будет атомарной формулой для любых термов языка L. Множество всех формул языка L определяется как наименьшее множество выражений, которое содержит все атомные формулы и удовлетворяет условиям: если  и  – формулы, а x – переменная, то выражения , , x – формулы. Формулы  и  называются подформулами формулы , формула  – подформулой формул  и x.

Будем предполагать, что другие логические связки служат сокращениям:

( & ) для (  ),

(  ) для (  ),

 x  для  x .

Формула x = y обычно записывается как x  y. Примеры формул:

 x  y P (x, y, x  z),  x (y  x  y = x).

Замена переменных

Переменная, содержащаяся в формуле, называется свободной, если она не связана квантором, в противном случае она называется связанной. Переменная может входить в формулу несколько раз, в этом случае аналогичные определения применяются к каждому вхождению. Например, в формуле

 y (y = z)   z (z < x)

первое вхождение переменной z свободно, а второе – связанное. Переменная x является свободной, а y – связанной. Формальное определение свободных и связанных переменных следующее:

1. все вхождения переменных в атомных формулах свободны;

2. свободные вхождения x в  есть в точности свободные вхождения x в ;

3. свободные вхождения x в состоят из свободных вхождений x в  и свободных вхождений x в ;

4. если x и y – различные переменные, то свободные вхождения x в формулу  y  соответствуют свободным вхождениям x в формулу ;

5. в формуле  x  нет свободных вхождений переменной x.

Запись: (x) указывает на то, что формула  содержит свободные вхождения переменной x. Если c – символ константы, то (с) означает формулу, полученную заменой всех свободных вхождений x в  на с. Например, если (x) = y((y = x) &  x (x = y)), то (c) = y((y = c) &  x (x = y).

Мы пишем: для указания того, что  содержит свободные переменные среди . Применяется запись: для обозначения формулы, в которой все свободные вхождения каждой из переменных формулы  заменяются на терм , . Таким образом, (с) является сокращением обозначения (х/с).

Формула, не содержащая свободных переменных, называется предложением.

Может случиться, что при замене переменной термом нарушается очевидный принцип, согласно которому замена переменной в равных формулах даёт равные формулы. Например, пусть t = f(y), (z) = y(y < z). Тогда после замены получаем: . С другой стороны, (z) = x(x < z), и, значит, . Получаем не равные формулы. Поэтому перед подстановкой терма в формулу (х) связанные переменные, содержащиеся в будем переименовывать на символы, не встречающиеся в .

Другой выход следующий: терм t называется свободным для переменной x в формуле (х), если никакое свободное вхождение x в  не лежит в области действия кванторов и , где входит в t. В этом случае замена (х/t) допускается.

При подстановках констант противоречия не возникают.

Замечание. Применяемые в анализе и алгебре обозначения: и служат сокращениями соответственно формул и . Например, будет определяться формулой: .

Исчисление предикатов

Для того чтобы определить формальную теорию, связанную с языком первого порядка, введём логические аксиомы и правила вывода языка L. Логические аксиомы подразделяются на 3 группы: