5.5. Вывод с нечёткими посылками

При дедуктивном выводе можно применять два правила вывода. Первое из них мы уже рассматривали, а второе выражает принцип доказательства от противного:

(Modus Ponens), (Modus Tollens).

Рассмотрим применение этих правил для нечёткого дедуктивного вывода.

Нечёткие переменные

Пусть U – множество, A  U – подмножество, элементы которого выделяются с помощью некоторого свойства, определяемого с помощью характеристической функции . Тогда высказывание: «X принимает значения во множестве A» – означает, что переменная X пробегает значения из U, и это высказывание будет принимать значения, равные . Это высказывание записывается: «X есть A», например, если U = , а A – подмножество чётных чисел, то запись: «X есть чётное число» будет равносильна X  A.

Нечёткая переменная определяется как пара, состоящая из символа переменной X, принимающей значения в U, и некоторого множества A, заданного с помощью функции . Эта пара записывается: «X есть A». На обычном языке X будет именем элементов универсума, а A – нечётким свойством. Например, «температура нормальная» содержит переменную «температура», принимающую значения в универсуме температур, а «нормальная» будет их нечётким свойством.

Рассмотрим множество составных высказываний, образованных из высказываний: «X есть A» с помощью союзов «и», «или», и связок «если…, то…», «не» – следующим образом:

«X есть A и Y есть B» равносильно «(X, Y) есть A  B», с , , где A  B – нечёткое множество на U  V с функцией принадлежности ;
«X есть A или Y есть B» равносильно «(X, Y) есть A  B», где ;
«если X есть A, то Y есть B» равносильно «(X, Y) есть A  B», где ;
«X не есть A» равносильно «X есть не A», где .

Правила нечёткого вывода

Пусть – треугольная форма, и пусть импликация связана с ней следующим образом:

Например, если a  b = min(a, b), то a  b будет импликацией Геделя. Для треугольной нормы Лукасевича импликация определяется как .

Обобщённое правило Modus Ponens было предложено Л. Заде. Пусть заданы нечёткие множества A, B, A с помощью функций: , , . Тогда будет справедливо правило вывода:

Если X есть A, то Y есть B

где нечёткое множество B определяется функцией , принимающей значения: .

Нечеткое множество B можно записать также, пользуясь аналогией с произведением матриц ,и записать B и A, как строки (вместо сложения участвует операция sup, вместо умножения – треугольная норма).