ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РЯЗАНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Государственного образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.С. СИВИРКИНА, Л.Г. БЛИННИКОВА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Типовые расчеты для студентов первого курса

Рязань 2010

УДК 51

ББК 22.11

С 34

Сивиркина А.С., Блинникова Л.Г.

Высшая математика: Типовые расчеты для студентов первого курса. – Рязань: Рязанский ин-т (филиал) Московского государственного открытого университета, 2010.–64 с.

Современная наука и техника предъявляют высокие требования к математической подготовке специалистов. Все это не могло не отразиться на содержании втузовского курса высшей математики.

Основной формой активизации учебного процесса является система типовых расчетов. Применение этой системы рекомендовано действующей программой по высшей математике для инженерных специальностей вузов.

Данное пособие предназначено для самостоятельной проработки студентами 1 курса очной и очно-заочной формы обучения таких разделов высшей математики, как линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, векторная алгебра, пределы, дифференциальное и интегральное исчисление в виде типовых расчетов. Самостоятельная работа студентов позволяет систематизировать знания и ликвидировать пробелы в них, если такие окажутся. Это способствует повышению качества математической подготовки будущих инженеров.

Печатается по решению учебно-методического совета Рязанского института (филиала) Московского государственного открытого университета.

Р е ц е н з е н т: кандидат технических наук, доцент кафедры МТД

РИ (филиала) МГОУ, О.П. Иванкина.

© Московский государственный

открытый университет,

Рязанский институт (филиал),

2010

© А.С. Сивиркина, Л.Г. Блинникова,

2010

Введение

Важной частью учебного процесса является самостоятельная работа студентов. В частности, активная самостоятельная работа студентов – важный фактор усвоения математических дисциплин. Система типовых расчетов активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более качественному изучению курса высшей математики. Применение системы типовых расчетов рекомендовано действующей программой по высшей математике для втузов.

Данное пособие содержит задания к типовым расчетам по таким разделам высшей математики, как «Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве», «Векторная алгебра», «Пределы», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление». Каждое задание содержит 30 вариантов, что позволяет преподавателю индивидуализировать работу студентов и более качественно проверить их знания по данной теме. Кроме того, пособие включает справочный материал, содержащий необходимые теоретические сведения.

Система типовых расчетов не исключает и не заменяет такие традиционные формы работы студентов, как домашние задания, контрольные и самостоятельные работы и прочее, а дополняет их, поскольку не все разделы спецкурсов отражены в данном пособии в равной мере.

Задачи решаются студентами самостоятельно и сдаются на проверку преподавателю в указанные сроки. Проверенные работы возвращаются студенту уже с необходимыми замечаниями, указаниями характера ошибок и возможными рекомендациями. Завершающим этапом является защита типовых работ в специально отведенное преподавателем время. Во время защиты проверяется осмысленность решения задач студентами, умение правильно отвечать на теоретические вопросы по данной теме, пояснять ход решения и решать задачи аналогичного типа.

Справочный материал

1. Определители.

Определителем третьего порядка называется число

.

Если в определителе третьего порядка «вычеркнуть» i-ю строку и j-й столбец, то получится определитель второго порядка, который называется минором для элемента .

Алгебраическим дополнением называется число .

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.

2. Матрицы.

Матрицей называется таблица, состоящая из элементов, располагающихся в строках и столбцах.

Матрица размерности имеет вид:

.

Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Квадратная матрица называется единичной, если по главной ее диагонали стоят единицы, а остальные элементы – нули.

С матрицами можно совершать следующие элементарные преобразования:

1) менять местами любые две строки;

2) умножать или делить элементы любой строки на неравное нулю число;

3) прибавлять к элементам одной строки соответствующие элементы другой, умноженные на число, не равное нулю.

Пусть , .

Суммой двух матриц одинаковой размерности A и B называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц.

.

Произведением вышеуказанных матриц A и B называется матрица С, такая что

.

Замечание. Перемножать можно лишь те матрицы A и B, у которых число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. То есть если A имеет размерность mn, B – nl, то матрица имеет размерность ml.

Обратной матрицей для невырожденной матрицы называется невырожденная матрица такая, что .

Обратная матрица имеет вид: ,

где – алгебраические дополнения, – определитель матрицы А.