§5.2. Математичний маятник

Математичний маятник – це підвішена на довгій нерозтяжній невагомій нитці матеріальна точка (тіло, розмірами якого нехтують), що здійснює коливання під дією тангенціальної складової сили тяжіння (рис. 5.2) – повертаючої сили

Рис. 5.3

,

напрямленої до положення рівноваги. При малих кутах відхилення і

, (5.8)

тобто ця сила є квазіпружною Вона забезпечує тангенціальне прискорення точки

. (5.9)

За ІІ законом Ньютона

. (5.10)

Підставляючи (5.8) і (5.9) у (5.10), отримаємо

а ввівши позначення , остаточно

. (5.11)

Зрозуміло, що це дифрівняння, як і (5.4), має розв’язки у вигляді гармонічних функцій (5.5). Отже, при малих кутах відхилень математичний маятник здійснює гармонічні коливання з періодом

Рис. 5.4

.

§5.3.Фізичний маятник

Фізичний маятник – це тіло, яке може коливатись навколо осі, що не проходить через його центр мас (рис. 5.4). На рис. 5.4: O – точка підвісу маятника, через яку перпендикулярно до площини рисунка проходить вісь коливання; – віддаль від осі до центра мас тіла. Повертаючою силою є тангенціальна складова сили тяжіння , яка при малих кутах відхилення є квазіпружною:

. (5.12)

Момент цієї сили відносно осі О

. (5.13)

За основним законом динаміки обертального руху

, (5.14)

де І – момент інерції фізичного маятника, – кутове прискорення. Підставляючи (5.13) у (5.14), одержимо

або

. (5.15)

Вираз (5.15) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань фізичного маятника з власною циклічною частотою

або

де – зведена довжина фізичного маятника.

Період коливань фізичного маятника

.

Зведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, який має такий самий період коливання, як і даний фізичний.

§5.4. Енергія гармонічних коливань

Оскільки квазіпружна сила, що є причиною гармонічних коливань, є потенціальна, то у випадку механічних коливань коливне тіло має як кінетичну, так і потенціальну енергію. Повна енергія дорівнює їх сумі

.

З врахуванням (5.5) для матеріальної точки отримаємо кінетичну енергію

. (5.16)

Потенціальна енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання,

. (5.17)

Склавши (5.16) і (5.17), отримаємо повну енергію

.

Отже, енергія гармонічних коливань пропорційна до квадрату амплітуди і не залежить від часу.

§5.5. Додавання однаково направлених гармонічних коливань однакової частоти

Часто матеріальна точка бере участь у двох і більше коливаннях. Наприклад, підвішена до стелі вагона на пружині кулька здійснює коливання відносно точки підвісу, яка у свою чергу коливається на ресорах вагона; таким чином, кулька буде здійснювати рух, який складається із двох коливань одного напрямку.

Н

Рис. 5.5

ехай матеріальна точка бере участь у двох однаково направлених гармонічних коливаннях однакової частоти, але з різними амплітудами і початковими фазами:

,

.

Очевидно, результуюче коливання є також гармонічним і буде описуватись виразом

.

Одержати цей вираз можна аналітично, але легше скласти коливання векторним способом. Для цього у момент часу побудуємо векторну діаграму додавання цих коливань (рис. 5.5), відклавши амплітуди як вектори під кутом та до осі x.

Оскільки вектори амплітуд обертаються з однаковою кутовою швидкістю, рівною циклічній частоті ω, то кут між векторами і залишається рівним . Тоді результуючий вектор

.

З рис. 5.5 за теоремою косинусів маємо

або

. (5.18)

З рис. 5.5 видно, що початкову фазу результуючого коливання можна визначити за співвідношенням

.

Із (5.18) випливає, що А залежить від різниці початкових фаз , тому

.

Зокрема, коли , де , то ; коливання, що додаються, здійснюються «у фазі». Коли ж , то ; коливання здійснюються «у протифазі».

Якщо і близькі, то результуюча частота , і амплітуда результуючого коливання повільно і періодично змінюється. Це явище називається биттям.