§5.12. Групова швидкість і дисперсія хвиль

Р

Рис. 5.10

еальні хвильові (звукові) сигнали обмежені в просторі і являють собою хвильові пакети (рис. 5.10), які є суперпозицією багатьох гармонічних хвиль з різними довжинами хвиль. Оскільки енергія коливань пропорційна до квадрату амплітуди, то швидкість поширення енергії (сигналу) – це швидкість поширення центру С хвильового пакету, де амплітуда максимальна. Ця швидкість називається груповою швидкістю хвилі u:

. (5.66)

Зрозуміло, що центр пакету формується з гармонічних хвиль, фази яких дуже близькі, тобто , а, значить, . Врахувавши, що , отримаємо

,

а звідси

. (5.67)

Оскільки фазова швидкість хвиль , то

, (5.68)

бо , а .

Залежність фазової швидкості від довжини хвилі називається дисперсією хвиль. При наявності дисперсії групова і фазова швидкості не співпадають.

§5.13. Стоячі хвилі

Якщо на біжучу хвилю

накладається відбита від перешкоди хвиля

,

то утворюється стояча хвиля. Рівняння стоячої хвилі можна отримати аналітичним додаванням:

(5.69)

З рівняння (5.69) видно, що стояча хвиля не «біжить», а її амплітуда залежить від координати x:

. (5.70)

Т

Рис. 5.11

очки з максимальною амплітудою називаються пучностями, а точки з нульовою амплітудою – вузлами (рис. 5.11).

Умовою пучності є

, (5.71)

що можливо, якщо , де Тоді координати пучностей

. (5.71)

Умовою вузлів є

,

що можливо, якщо

, де

Тоді координати вузлів

. (5.72)

Із (5.71) і (5.72) та з рис. 5.11 видно, що відстань між сусідніми пучностями і між сусідніми вузлами складає , а між сусіднім вузлом і пучністю – . На перешкоді формується пучність або вузол, в залежності від величини хвильових опорів середовища і перешкоди. Якщо , як на рис. 5.11, то на перешкоді виникає вузол. Це зумовлене зміною фази відбитої хвилі на . Якщо ж , то зміна фази відсутня і на перешкоді – пучність.

§5.14. Електромагнітні коливання

Е

Рис. 5.12

лектромагнітними коливаннями називаються процеси, при яких періодично змінюються з часом характеристики електричних і магнітних полів (заряд, сила струму, напруженість поля тощо). Джерелом електромагнітних коливань може бути коливальний контур, який складається з конденсатора ємністю С, котушки з індуктивністю L та резистора з опором R (рис. 5.12).

Нехай у початковий момент часу конденсатор зарядили до різниці потенціалів U, після чого джерело від’єднали. Тоді по колу піде зростаючий розрядний струм. Коли потенціали обкладок конденсатора вирівняються, а в котушці індуктивності струм досягне максимального значення, е.р.с. самоіндукції в котушці підтримає спадаючий струм і відбудеться перезарядка конденсатора. Після цього знову виникне струм, але протилежного напрямку. Оскільки перезарядка конденсатора буде відбуватися періодично, то в контурі виникнуть електромагнітні коливання.

Такі коливання подібні до механічних, наприклад, до коливань маятника. Відхилений маятник за інерцією проходитиме положення рівноваги, відхиляючись у протилежну сторону, і продовжуватиме коливальний рух. Із такого порівняння видно, що індуктивність контура відіграє роль інерції, а опір – роль сил тертя.

За ІІ правилом Кірхгофа алгебраїчна сума спадів напруг на ділянках контура рівна алгебраїчній сумі електрорушійних сил, що зустрічаються у контурі:

. (5.73)

Оскільки , а , то (5.73) можна переписати як

або

,

чи

. (5.74)

Ввівши позначення

,

отримаємо диференціальне рівняння коливань заряду на пластинах конденсатора

,

де – власна циклічна частота коливань,  – коефіцієнт згасання.

За аналогією з механічними коливаннями розв’язок цього рівняння має вигляд

, (5.75)

де циклічна частота згасаючих коливань рівна

або

.

Величина

є амплітудою згасаючих коливань. Використавши (5.75), можна встановити вирази для коливань напруги на конденсаторі і сили струму в контурі . Період електромагнітних згасаючих коливань

.

Якщо опір (ідеальний контур), то в контурі встановляться незгасаючі коливання величин з періодом

. (5.76)

Вираз (5.76) називають формулою Томсона для гармонічних електромагнітних коливань. Відмітимо, що коливання струму зміщені в ідеальному контурі по фазі на  порівняно з коливанням заряду і напруги, оскільки .