МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНОЙ ЭКОЛОГИИ

Кафедра технической кибернетики и автоматики

Ю. Н. Софиева, В. А. Миронова

Рабочая тетрадь

по теории автоматического управления

Линейные системы

Введение

Опыт преподавания теории автоматического управления показал, что приобрести достаточно устойчивые навыки в решении задач, возникающих при исследовании систем автоматического регулирования, можно только путем решения достаточно большого числа задач каждого типа. Исходя из этого в данной работе приводятся примеры типовых задач, методика их решения. Для каждого типа задач дано задание, включающее около 30 задач.

Основные теоретические положения, необходимые для решения задач, а также методику их решения можно найти в конспекте лекций [1], сборнике задач и контрольных вопросов [2], а также учебниках [3, 4]. Приведенные примеры решения задач предназначены не для изучения методики их решения (они изложены слишком кратко и не освещают всех вопросов, возникающих при их решении), а для пояснения того, в какой последовательности и объеме должно быть дано их решение.

Приведенные задания должны быть выполнены при подготовке к семинарским занятиям и рубежному контролю в объеме, указанном преподавателем.

Тема 1. Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с целью построения переходного процесса в системе

1.1. Решение во временной области

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения, описывающего исследуемый объект, при нулевых начальных условиях и построить график переходного процесса при заданном внешнем воздействии

Для заданного уравнения записываем характеристическое

и находим его корни:

Общее решение однородного уравнения

С учетом вида правой части исходного уравнения определяем частное решение неоднородного уравнения . Подставляем его в исходное уравнение (1)

и находим значение A: . Запмсываем общее решение уравнения

Из начальных условий определяем и :

Окончательно общее решение уравнения (1) имеет вид

Построение графика переходного процесса показано на рис. 1.

Задание 1. Найти решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и построить графики решений:

Примечание. Правая часть уравнений при равна нулю.

1.2. Решение с использованием преобразования по Лапласу

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения объекта (1) при нулевых начальных условиях с использованием преобразования по Лапласу.

Преобразуем уравнение (1) по Лапласу

и решим его относительно :

Разложим полученную рациональную дробь на элементарные

Найдем коэффициенты A, B, C методом неопределенных множителей

Получаем решение в виде

Перейдем к оригиналу с помощью обратного преобразования по Лапласу

Задание 2. Найти решение уравнений, приведенных в задании 1, с использованием преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях.

Тема 2. Получение передаточных функций по заданной структурной схеме

Пример 3. Получить передаточную функцию системы, структурная схема которой приведена на рис. 2, по каналам x – y, z – y.

Для объектов с несколькими входными координатами при выводе передаточной функции по каждому каналу остальные входные координаты принимаются равными нулю. В связи с этим при выводе передаточной функции по каналу x – y принимаем, что z = 0.

Первый способ. Введем обозначения для сигналов на входе и выходе каждого элемента системы. Запишем уравнения, связывающие входную и выходную координаты каждого элемента схемы, с использованием их передаточных функций:

Исключим промежуточные переменные и

Окончательно получим

или

Следовательно, передаточная функция системы по каналу x - y имеет вид

Второй способ. Проанализируем структурную схему системы и преобразуем ее, заменив каждый участок с типовым видом соединения (параллельное, последовательное, с обратной связью) одним звеном с новой передаточной функцией. Для выделения таких участков применим правила преобразования структурных схем 1.

Последовательность преобразования исходной схемы приведена на рис. 3.

По каналу получаем соединение с обратной связью, имеющее передаточную функцию

По каналу - соединение с обратной связью, в прямой цепи которого последовательное соединение звеньев с передаточными функциями и

Окончательно получаем передаточную функцию системы в виде

Для канала аналогичный способ вывода передаточной функции с использованием преобразования структурной схемы поясняется на рис. 4 (пунктиром показано направление переноса сумматора через звено).

Окончательно получаем

Задача 3. Получить передаточные функции для следующих структурных схем по указанным каналам: