§ 5.6. Интерпретация оценок параметров линейного уравнения множественной регрессии

При интерпретации регрессионных коэффициентов принимаются во внимание единицы измерения зависимой и независимых переменных (смотри «Простая регрессия»). Для определения степени влияния независимой переменной на зависимую без учета единиц их измерения можно вычислить коэффициенты эластичности (кратко эластичность):

,

где y* и – значения зависимой и k-ой независимой переменных, определяющие точку уравнения регрессии, для которой вычисляется коэффициент эластичности. Чаще всего для этого используются значения средних арифметических . Для линейного уравнения регрессии

.

Тогда оценка эластичности

.

Оцененная эластичность интерпретируется следующим образом. Если при прочих равных условиях независимая переменная изменится на один процент, то зависимая переменная изменится на процентов.

Для примера о росте и весе женщин

,

т.е. если рост увеличится на один процент, то вес увеличится на 2,02 процента.

§ 5.7. Понятие о нелинейной регрессии

Имеется большое число ситуаций, для которых линейная модель непригодна, например, когда зависимость выражается суммой экспоненциальных и/или тригонометрических функций. В этом случае линей­ная модель не будет удовлетворительной аппроксимацией, а простое преобразование переменных, приводящих к ней, отсутствует. Любая математическая модель, вид которой не совпадает с уравнением

,

называется моделью нелинейной регрессии и может быть представлена в виде

где f ( ) – нелинейная функция параметров , а – некоррелированные ошибки. Приведем два примера нелинейной функции

Для нелинейной регрессии отсутствуют методы получения наилучших оценок параметров.

Однако метод максимального правдоподобия позволяет получить оценки, обладающие такими свойствами, как состоятельность и асимптотическая эффективность при достаточно общих условиях. Более того, если ошибки _i суть независимые случайные величины с распределением оценки максимального правдоподобия совпадают с оценками метода наименьших квадратов, которые минимизируют сумму квадратов ошибок

.

В случае нелинейной регрессии приходится решать систему нелинейных уравнений и соответствующие МНК-решения нельзя представить в явном виде. По этой причине используют различные итерационные методы для численного определения МНК-оценок.

Приведем примеры типичных задач регрессионного анализа, с которыми приходится иметь дело экономисту.

1. Функция цены. Цена товара в период t зависит (является функцией) прежде всего от объемов его поставок в данный период и от цен конкурирующих товаров. На сколько изменится цена данного товара в результате изменений объемов поставок или цен конкурирующих товаров?

2. Функция спроса. Величина спроса на определенный товар в период t зависит прежде всего от цены этого товара, от цены товаров, производимых конкурентами, а также от реальных доходов потребителей в данный период. Определить, как зависит спрос от названных факторов.

3. Функция издержек. Средние издержки производства на предприятии в период зависят в основном от цен и используемого количества производственных ресурсов. Определить, как зависят средние издержки от названных факторов.

4. Функция чувствительности рынка. Допустим, что объем сбыта продукции (Y) зависит от затрат на рекламу (Х₁) и индекса «чистоты» производимой продукции (Х₂), который должен быть для соответствующего предприятия важным «экологическим индикатором». Определить зависимость Y от Х₁ и Х₂.

5. Уравнение стратегии предприятия. Предприятия отрасли, работающие примерно в одинаковых условиях, имеют разные результаты хозяйственной деятельности. Как функционально зависит рентабельность предприятия от таких определяющих факторов, как его удельный вес на рынке товаров, качество товаров, расходы на маркетинг, научные исследования и развитие, инвестиционные расходы?