5. Приложения степенных рядов

Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.

Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.

Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:

; ; ; ;

; .

Вопросы для самопроверки

1. Чему равны коэффициенты степенного ряда ?

2. Записать несколько членов степенного ряда .

3. Как называется множество всех значений х, при которых заданный степенной ряд сходится?

4. Обязательно ли сходится степенной ряд на концах интервала сходимости?

5. Является ли непрерывной (дифференцируемой) функция, задаваемая степенным рядом на интервале сходимости?

6. Назовите достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора?

7. Как из ряда Тейлора получается ряд Маклорена?

Упражнения

1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости, область сходимости степенного ряда:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Разложить в ряд Маклорена следующие функции:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Литература

Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А. И. Яблонский, А. В. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С. А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.

Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.

Содержание

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля 3

2. Свойства степенных рядов 6

3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций 8

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд

Маклорена 9

5. Приложения степенных рядов 10

Вопросы для самопроверки 11

Упражнения 11

Литература 12

Учебное издание

ОВСЕЕЦ Михаил Ильич,

СВЕТЛАЯ Елена Михайловна

Высшая математика

степенные ряды

Учебно-методическое пособие

Редактор И. В. Лаврик

Компьютерный набор и верстка Е. А. Бугрова

Корректор Н. А. Бебель

Подписано в печать 06.12.2006 г. Формат 6084 ¹/₁₆.

Бумага газетная. Гарнитура «Times New Roman».

Отпечатано способом ризографии.

Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,65. Тираж 315. Заказ 1168.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Учреждение образования

«Частный институт управления и предпринимательства».

220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.

Лицензия ЛИ № 02330/0133342 от 29.06.2004 г.

13