- •Ю. В. Минченков высшая математика Дифференцированные уравнения
- •Ключевые понятия
- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Ключевые понятия
- •1. Однородные дифференциальные уравнения
- •2. Линейные дифференциальные уравнения
- •1. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •3. Уравнения в полных дифференциалах
- •Задачи и упражнения
- •Литература
- •Содержание
- •Минченков Юрий Владимирович высшая математика Дифференциальные уравнения
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Ключевые понятия
Однородная функция. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения. Метод подстановки. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
1. Однородные дифференциальные уравнения
Вначале введем понятие однородной функции. Функция называется однородной функцией порядка k, если
, .
ПРИМЕР 1
Какие из функций будут однородными?
1) ;
2) ;
3) .
Решение
1.
Функция – однородная функция второго порядка (так как переменная t в квадрате, т. е. k = 2).
2. .
Функция – однородная функция четвертого порядка.
3.
.
Функция не является однородной.
Уравнение вида
(1) |
называется однородным, если – однородные функции одного порядка, то есть в (1):
, .
Заметим, что уравнение (1) можно привести к виду
.
С помощью подстановки
, |
(2) |
где – новая неизвестная функция, однородное уравнение (1) может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции и переменной х.
ПРИМЕР 2
Решить уравнение
.
Решение
В данном случае функции и – однородные функции первого порядка. Действительно:
,
.
Таким образом, исходное уравнение есть однородное уравнение (1) и для его решения необходимо применить подстановку (2):
.
Подставим у и dy в уравнение:
,
,
или ,
– уравнение с разделяющимися переменными.
.
Подставляя в данное решение , получаем общее решение исходного уравнения:
.
Заметим, что к данному общему решению необходимо добавить решение , полученное выше. Действительно, будет также решением исходного уравнения, так как при , следовательно
.
Таким образом, непосредственной подстановкой мы убедились, что также решение исходного уравнения, причем оно не может быть получено из общего ни при каких значениях константы С. Значит, решением исходного уравнения будет:
и .
Заметим, что если заранее известно, что уравнение однородное, то нет необходимости проверять однородность функций , а сразу нужно использовать подстановку (2) и в конечном ответе не забыть заменить новую функцию на .
2. Линейные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции у и ее производной , т. е. уравнение вида
. |
(3) |
Здесь и – непрерывные на функции.
Если в (3) правая часть , то уравнение называется линейным неоднородным, если – линейным однородным уравнением.
Существует несколько методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим некоторые из них. Сразу отметим, что при решении одного и того же уравнения различными методами мы должны получить один и тот же ответ.
1. Метод подстановки (метод Бернулли).
По этому методу решение уравнения (3) ищется в виде
, |
(4) |
где и – некоторые непрерывно-дифференцируемые на функции, которые необходимо будет найти.
Так как , то
.
Подставим у и в уравнение (3):
. |
(5) |
В качестве возьмем такую функцию, чтобы выражение в уравнении (5) обращалось бы в нуль, т. е.
. |
(6) |
Тогда уравнение (5) преобразуется в уравнение
. |
(7) |
Уравнения (6) и (7) являются уравнениями с разделяющимися переменными (способ их решения смотрите выше). Решим вначале уравнение (6):
,
,
,
,
, ,
. |
(8) |
Как правило, константу в (8) полагают равной 1.
Подставим найденную функцию из (8) в уравнение (7):
. |
(9) |
Таким образом, мы определили необходимые нам неизвестные функции и . Следовательно, решением исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка будет функция
. |
(10) |
Формула (10) позволяет сразу найти решение дифференциального уравнения (3). Но в силу ее громоздкости лучше помнить алгоритм решения таких уравнений, а именно, подстановку , чем саму формулу (10). Заметим, что формула (10) значительно упрощается для линейного однородного уравнения (в котором ):
. |
(11) |
ПРИМЕР 3
Решить уравнение
. |
(12) |
Решение
Сравнивая вид уравнения (12) с видом уравнения (3), действительно убеждаемся, что оно линейное:
, ,
причем оно неоднородное.
Для его решения применим подстановку (4):
,
,
,
. |
(13) |
1) Пусть .
,
.
Пусть
. |
(14) |
2) Подставим (14) в (13):
,
,
. |
(15) |
Таким образом, учитывая (14) и (15), общим решением уравнения (12) будет функция:
. |
(16) |