Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт управления и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения Минченков.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.11.2018

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Ключевые понятия

Однородная функция. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения. Метод подстановки. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

1. Однородные дифференциальные уравнения

Вначале введем понятие однородной функции. Функция называется однородной функцией порядка k, если

, .

ПРИМЕР 1

Какие из функций будут однородными?

1) ;

2) ;

3) .

Решение

Функция – однородная функция второго порядка (так как переменная t в квадрате, т. е. k = 2).

2. .

Функция – однородная функция четвертого порядка.

Функция не является однородной.

Уравнение вида

(1)

называется однородным, если – однородные функции одного порядка, то есть в (1):

, .

Заметим, что уравнение (1) можно привести к виду

С помощью подстановки

(2)

где – новая неизвестная функция, однородное уравнение (1) может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции и переменной х.

ПРИМЕР 2

Решить уравнение

Решение

В данном случае функции и – однородные функции первого порядка. Действительно:

Таким образом, исходное уравнение есть однородное уравнение (1) и для его решения необходимо применить подстановку (2):

Подставим у и dy в уравнение:

или ,

– уравнение с разделяющимися переменными.

Подставляя в данное решение , получаем общее решение исходного уравнения:

Заметим, что к данному общему решению необходимо добавить решение , полученное выше. Действительно, будет также решением исходного уравнения, так как при , следовательно

Таким образом, непосредственной подстановкой мы убедились, что также решение исходного уравнения, причем оно не может быть получено из общего ни при каких значениях константы С. Значит, решением исходного уравнения будет:

и .

Заметим, что если заранее известно, что уравнение однородное, то нет необходимости проверять однородность функций , а сразу нужно использовать подстановку (2) и в конечном ответе не забыть заменить новую функцию на .

2. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции у и ее производной , т. е. уравнение вида

(3)

Здесь и – непрерывные на функции.

Если в (3) правая часть , то уравнение называется линейным неоднородным, если – линейным однородным уравнением.

Существует несколько методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим некоторые из них. Сразу отметим, что при решении одного и того же уравнения различными методами мы должны получить один и тот же ответ.

1. Метод подстановки (метод Бернулли).

По этому методу решение уравнения (3) ищется в виде

(4)

где и – некоторые непрерывно-дифференцируемые на функции, которые необходимо будет найти.

Так как , то

Подставим у и в уравнение (3):

(5)

В качестве возьмем такую функцию, чтобы выражение в уравнении (5) обращалось бы в нуль, т. е.

(6)

Тогда уравнение (5) преобразуется в уравнение

(7)

Уравнения (6) и (7) являются уравнениями с разделяющимися переменными (способ их решения смотрите выше). Решим вначале уравнение (6):

, ,

(8)

Как правило, константу в (8) полагают равной 1.

Подставим найденную функцию из (8) в уравнение (7):

(9)

Таким образом, мы определили необходимые нам неизвестные функции и . Следовательно, решением исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка будет функция

(10)

Формула (10) позволяет сразу найти решение дифференциального уравнения (3). Но в силу ее громоздкости лучше помнить алгоритм решения таких уравнений, а именно, подстановку , чем саму формулу (10). Заметим, что формула (10) значительно упрощается для линейного однородного уравнения (в котором ):