
- •Г лава I. Линейная алгебра
- •Матрицы и действия над ними
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определитель матриц
- •Основные свойства определителей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Обратная матрица
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Ранг матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава II. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов
Задачи для самостоятельного решения
16. Из Минска в Могилев необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа – 95 ед., II типа – 100 ед., III типа –185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице:
Тип оборудования |
Вид транспорта |
||
Т1 |
Т2 |
Т3 |
|
I II III |
3 4 3 |
2 1 5 |
1 2 4 |
Записать в математической форме условия полной перевозки оборудования из Минска в Могилев.
17. Предприятие выпускает продукцию трех видов: А, Б и В. Уровень выпуска лимитируется ограниченностью ресурсов. Все числовые данные приведены в таблице:
Ресурсы |
Запас ресурса |
Нормы затрат на единицу продукции |
||
А |
Б |
В |
||
Сырье, кг Материалы, кг Оборудование, кг |
24 75 10 |
5 7 4 10 5 20 5 2 1 |
Записать в математической форме условия, которым должен удовлетворять план выпуска продукции, предполагая полное использование ресурсов.
18. На станции А1 находится 20 т, а на станции А2 – 30 т некоторого однородного груза. Этот груз следует доставить в пункты В1, В2 и В3 в количествах 10 т, 30 т и 10 т соответственно. Стоимость перевозки 1 т груза из пункта А1 в пункты В1, В2 и В3 равна соответственно 4, 9 и 5 ден. ед., а из А2 – 4,8 и 1 ден. ед. Записать в математической форме условия полного удовлетворения потребностей в грузе при транспортных затратах в 300 ден. ед.
19. Методом Гаусса решить систему уравнений:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
20. Пользуясь формулами Крамара, решить следующие системы уравнений:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
21. Установить, при
каких значения
данная система уравнений имеет
единственное решение, и найти его:
а)
;
б)
.
Глава II. Векторная алгебра
2.1. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов
Вектором называется направленный
отрезок
где точка А – начало вектора, точка
В – конец вектора. Если начало и
конец вектора в явном виде не указаны,
то вектор будем обозначать
и т. д.
Вектор, у которого начало и конец
совпадают, называется нулевым
вектором и обозначается
.
Длиной (модулем) вектора называется
длина его направленного отрезка и
обозначается
,
.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным или ортом.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора
и
называются равными
,
если они коллинеарны, имеют одинаковую
длину и одинаковое направление.
Свободный вектор – это вектор, который можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства (плоскости).
Произведением вектора
на
число
называется вектор
,
длина которого
;
направление совпадает с направлением
вектора
,
если
,
и противоположно ему, если
.
Суммой двух векторов
и
называется вектор
(рис. 1) и обозначается
.
Разностью двух векторов
и
называется вектор
и обозначается
(рис. 2).
Векторы, лежащие в одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.
Декартовой прямоугольной системой
координат в пространстве (прямо-угольной)
называется совокупность трех упорядоченных
взаимно перпендикулярных осей координат
ОХ, ОY, OZ с
общим началом в точке О. Орты
координатных осей ОХ, ОY,
ОZ обозначают
соответственно. Векторы
образуют декартовый прямоугольный
базис в пространстве.
Базисом на плоскости
называется упорядоченная пара любых
некомпланарных векторов этой плоскости.
Базисом в пространстве
называется упорядоченная тройка любых
некомпланарных векторов.
Векторы
,
в пространстве образуют базис тогда и
только тогда, когда определитель матрицы,
составленной из их координат,
не равен нулю:
.
Если
– базис на плоскости, то любой вектор
этой плоскости единственным образом
представляется в виде линейной комбинации
векторов
т. е.
.
Числа
называют координатами вектора
в базисе
и записывают
.
Если
– базис в пространстве, то любой вектор
единственным обра-зом представляется
в виде линейной комбинации векторов
,
т. е.
.
Числа
называют координатами вектора
в базисе
и записывают
.
Координатами точки М в заданной
системе координат называют координаты
ее радиус-вектора
.
В этом случае пишут
или
Любой вектор
в пространстве единственным образом
представляется в виде линейной комбинации
векторов
т. е.
.
Числа
называют декартовыми прямоугольными
координатами вектора
и записывают
.
Линейные операции над векторами в
координатной форме: пусть
,
,
тогда
,
.
Длина вектора
вычисляется по формуле
.
(2.1)
Если вектор
задан координатами точек
и
,
то
.
(2.2)
Скалярным произведением двух
векторов
и
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла
между ними:
. (2.3)
Скалярное произведение в координатной форме:
.
(2.4)
Из определения скалярного произведения следует, что
.
(2.5)
По значению косинуса находится угол
между ненулевыми векторами
и
.
Ненулевые векторы
и
перпендикулярны (ортогональны)
тогда и только тогда, когда их скалярное
произведение равно нулю:
. (2.6)
Ненулевые векторы
и
коллинеарны тогда и только тогда,
когда их соответствующие координаты
пропорциональны:
.
(2.7)
Проекция вектора
на вектор
вычисляется по формуле
.
(2.8)
Примеры
-
Даны координаты точек
,
.
Вычислить длину вектора
.
Р е ш е н и е.
Найдем координаты векторов
по формуле (2.2):
.
Найдем координаты
вектора
=.
Тогда длина вектора
находится по формуле (2.1):
31,6.
-
Упростить выражение
.
Р е ш е н и е. Воспользуемся свойствами скалярного произведения:
.
-
Определить, перпендикулярны ли векторы
и
, если
,
.
Р е ш е н и е.
Векторы
и
имеют координаты:
Вычислим по формуле (2.4) скалярное произведение
.
Следовательно,
векторы
и
не перпендикулярны, так как не выполняется
условие перпендикулярности (2.6).
-
Найти координаты вектора
, коллинеарного вектору
при условии
.
Р е ш е н и е.
Из условия коллинеарности векторов
(2.7) следует, что существует число
,
такое что
.
Тогда
.
Из условия задачи
следует
.
Тогда
.
Следовательно,
или
.
-
При каком значении параметра
векторы
и
:
-
коллинеарны;
-
перпендикулярны?
Р е ш е н и е. 1) Из условия коллинеарности векторов (2.7) следует
.
Из пропорции
найдем значение
.