Задачи для самостоятельного решения

1. Определить размерность следующих матриц:

.

2. Найти если .

3. Найти и установить, существует ли , если

.

4. Найти если .

5. Показать, что если .

6. Решить матричное уравнение

где .

7. Показать, что ,

где – единичная матрица.

8. Дано,  .

Найти и показать, что

.

1.2. Определитель матриц

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц . Определитель обозначается или .

Определитель первого порядка матрицы равен ее элементу, т. е. .

Определителем второго порядка матрицы называется число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, т. е.

. (1.1)

Определителем третьего порядка матрицы называется число, вычисляемое по формуле

. (1.2)

Чтобы составить выражение (1.2), используют символическое правило треугольников (правило Саррюса):

Минором элемента квадратной матрицы А п-го порядка называется число, равное определителю (п-1)-го порядка матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число, равное

.

Определителем п-го порядка матрицы называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

, (1.3)

или

. (1.4)

Формулы (1, 3), (1, 4) называются формулами Лапласа разложения определителя по элементам i-й строки, j-го столбца соответственно.

Определитель матрицы не зависит от выбора строки (столбца), по которой идет разложение.

Основные свойства определителей

1. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании, т. е.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

3. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы можно вынести за знак ее определителя.

4. Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

5. Определитель матрицы не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

6. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т. е. .

Примеры

7. Вычислить определитель второго порядка

.

Р е ш е н и е. Вычислим определитель по формуле (1.1). Имеем

8. Вычислить определитель второго порядка

.

Р е ш е н и е. Используем свойство 3 определителей и формулу (1.1). Имеем

.

9. Вычислить определитель третьего порядка

1. по правилу треугольников;

2. по формуле Лапласа.

Р е ш е н и е. 1. По формуле (1.2) непосредственно находим

2. Разложим определитель по элементам первой строки. Тогда из формулы (1.3) следует

.

10. Показать, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:

.

Р е ш е н и е. Применим последовательно формулу (1.4) разложения определителя по элементам первого столбца.

Имеем

.

В частности, определитель единичной матрицы равен единице, .