Занятие 2

ТЕМА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КО- КОНТРАВАРИАНТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

п.1. Преобразование координат характеризуется соотношением и выражает отображение областей изменения переменных и друг на друга. Штрих в дальнейшем означает переменную в новой системе координат. Отображение является непрерывным, взаимно однознач-ным, если якобиан преобразования ; при этом якобиан обратного преобразования .

Задача 1. Записать явный вид соотношения , если – декартовы координаты, а – сферические (рис.1), и якобиана .

Ответ.

Задача 2. Записать явный вид преобразования, обратного указанному выше.

Ответ: .

Поменяв местами штрих, придем к записи . Особые точки преобразования .

п.2. Преобразование .

Задача 3. Записать формулу преобразования дифференциала координат при преобразовании .

Решение. При условии, что – дифференцируемая по всем переменным функция, можно записать: .

Результат можно представить в матричной форме: .

Задача 4. Вывести формулу преобразования базисных векторов .

Решение. Исходим из определения . По формуле дифференцирования сложных функций имеем: . Получаем искомую формулу преобразования:

.

Преобразование базисных векторов и дифференциалов осуществляется с помощью матриц и, обратных друг к другу. Поэтому величины с индексами сверху называются контравариантным и по этим индексам (т.е. преобразующихся "противоположно" преобразованию базиса), а величины с индексами внизу называются ковариантными. Полезным для запоминания является мнемоническое правило; ковариантный индекс «производная от новой переменной / по старой.

Задача 5. Какова формула преобразования элементов метрической матрицы при переходе к новым переменным.

Решение. Используем определение .

.

Здесь – значение элемента матрицы преобразования в точке, где выполняется преобразование.

Задача 6. Вывести формулу преобразования .

Решение. Согласно определению . Выполняем преобразования, используя полученные ранее выражения: . По правилу "частного" имеем: . Тогда получаем выражения:

.

Получена формула

.

Задача 7. Показать, что ортогональные проекции вектора на оси косоугольной системы координат преобразуются как ковариантные переменные.

Решение. Ортогональную проекцию вектора на направление вектора будем обозначать . По определению . Базисный вектор в косоугольной, но прямолинейной системе координат, орт. Имеем:

,

т.е. , так преобразуются ковариантные переменные.

Дополнительные задачи

1. Доказать, что если – декартовые координаты, а – произвольные криволинейные, связанные соотношением , то компоненты метрической матрицы удовлетворяют равенству .

2. Используя связь декартовых и сферических координат, получить элементы метрической матрицы в сферических координатах, на основании задания 1. Сравнить с предыдущими результатами.

3. Задана прямолинейная, косоугольная система координат, угол между двумя координатными линиями в точке равен , третья координатная линия перпендикулярна первым двум. Определить величины и направления базисных векторов и _.

4. Записать формулы преобразования сферической системы координат в цилиндрическую и найти якобиан преобразования.

5. Показать, что частные производные произвольной функции преобразуются при переходе к новой системе координат как ковариантные величины.

6. Вывести формулу преобразования при переходе от к .