1.2. Проекция точки.

Э

Рис. 1.4

пюр Монжа или комплексный чертеж. Проекция геометрического объекта на одну плоскость не дает полного и однозначного представления о самом геометрическом объекте. Рассмотрим проецирование на две взаимно перпендикуляр­ные плоскости (рис. 1.4), одна из которых расположена горизонтально, а другая вертикально.

Несмотря на наглядность, с чертежом, где проекция точки А расположена в пространстве (рис. 1.4, а), работать неудобно, т. к. горизонтальная плоскость на нем показана с искажением. Удобнее выполнять различные построения на чертеже, где плоскости проекций расположены в одной плоскости, а именно, плоскости чертежа. Для этого надо горизонтальную плоскость раз­вернуть вокруг оси OX на 90° и совместить с фронтальной так, что­бы передняя пола горизонтальной плоскости ушла вниз, а задняя – вверх. Этот метод предложил Г. Монж, поэтому чертеж, получен­ный таким образом (рис. 1.4, б) называется эпюром Монжа или ком­плексным чертежом.

О

Рис. 1.5

бычно двух проекций недостаточно, чтобы составить полное представление о рассматриваемом геометрическом объекте. Поэтому предлагается ввести третью плоскость проекций, ортого­нальную первым двум. (Рис. 1.5, а) Тогда плоскость П₁ называется горизонтальной плоскостью проекций, П₂ - фронтальной плоскостью проекций (т. к. она расположена перед нами по фронту), П₃ - профильной плоскостью проекций (расположена в профиль по отношению к наблюдателю), A₁ - горизонтальная проекция точки А, А₂ - фронтальная проекция точки А, А₃ - профильная проекция точки А.

Оси OX, OY, OZ называются осями проекций. Они аналогич­ны координатным осям декартовой системы координат с той лишь разницей, что ось ОХ имеет положительное направление не впра­во, а влево. Теперь, чтобы получить проекции в одной плоскости (плоскости чертежа), необходимо и профильную плоскость про­екций развернуть до совмещения с фронтальной. Для этого ее нужно развернуть на 90° вокруг оси OZ, причем переднюю полу плоскости развернем вправо, а заднюю влево. В результате получим трехкартинный комплексный чертеж (эпюр Монжа), показанный на рис 1.5, б. Так как ось OY разворачивается вместе с двумя плоскостями П₁ и П₃, то на комплексном чертеже ее изобра­жают дважды.

Исходя из рис. 1.5, а, очевидно, что А₁А_х = OA_y = А_zА₃. Из этого следует важное правило взаимосвязи проекций: расстояние от го­ризонтальной проекции точки до оси ОХ равно расстоянию от профильной проекции точки до оси OZ. Тогда по двум любым про­екциям точки можно построить третью. Горизонтальную и фрон­тальную проекции точки А связывает вертикальная линия связи, а фронтальную и профильную проекции – горизонтальная.

В связи с тем, что комплексный чертеж представляет собой свер­нутую в плоскость модель пространства, на нем нельзя изобра­зить проецируемую точку (за исключением случаев, когда ее по­ложение совпадает с одной из проекций). На комплексном черте­же мы оперируем не самими геометрическими объектами, а их проекциями.

Ортогональная система трех плоскостей проекции. Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в про­странстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность то­чек, то можно утверждать, что и две орто­гональные проекции предмета (при нали­чии буквенных обозначений) вполне опре­деляют его форму.

Однако в практике для изображения изделий, машин и различных инженерных конструкций возникает необ­ходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций пока­зана на рис. 1.6, а. Третья плоскость, перпендикулярная П₁ и П₂, обозначается бук­вой П₃ и называется профильной. Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными.

Плоскости проекций, попарно пересека­ясь, определяют три оси: OX, OY, OZ, которые можно рассматривать как систе­му прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Три плоскости проекций делят про­странство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты.

Как и прежде, будем считать, что зри­тель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Д

Рис. 1.6

ля получения эпюра плоскости П₁ и П₃ вращают, как показано на рис. 1.6, а, до совмещения с плоскостью П₂. В результа­те вращения передняя полуплоскость П₁ оказывается совмещенной с нижней по­луплоскостью П₂, а задняя полуплоскость П₁ — с верхней полуплоскостью П₂. При повороте на 90° вокруг оси OZ передняя полуплоскость П₁ совместится с правой полуплоскостью П₂, а задняя полупло­скость П₃ — с левой полуплоскостью П₂.

О

Табл.1.1

Октант	Знаки координат
I	+	+	+
II	+	-	+
III	+	-	-
IV	+	+	-
V	-	+	+
VI	-	-	+
VII	-	-	-
VIII	-	+	-

кончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рис. 1.6, б. На этом чертеже оси OX и OZ, лежащие в неподвижной плоскости П₂, изображены только один раз, а ось OY показана дваж­ды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью П₁, ось OY на эпюре совме­щается с осью OZ, а вращаясь вместе с плоскостью П₃, эта же ось совмещается с осью OX.

В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— OX; — OY; — OZ) указываться не будут. Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекции (октант) даны в табл. 1.1.

П

Рис. 1.7

роецирование точек, занимающих частное положение в пространстве. Частным положением точки считаем такое, при котором она на­ходится либо на оси проекций, либо на плоскости проекций. Так, если точка расположена на оси проекций, тогда две ее проекции ле­жат на этой оси, а третья - в начале координат. Если точка располо­жена на плоскости проекций, тогда одна из ее проекций лежит в этой же плоскости, а две другие - на осях проекций.

В качестве примера рассмотрим построение проекций точки Е, принадлежащей оси OY и расположенной во II четверти, и точки F, лежащей в профильной плоскости проекций и расположенной в III четверти. (Рис. 1.7)

Для точек, занимающих частное положение в пространстве, по­строения следует начинать с проекций, принадлежащих либо оси, либо плоскости проекций.

П

Рис. 1.8

остроение проекций точки по ее координатам. Если заданы координаты какой-либо точки А (х, у, z), тогда про­екции точки строят следующим образом сначала откладывают абс­циссу по оси ОХ, затем проводят вертикальную линию, далее на ней откладывают ординату по оси OY и аппликату по оси OZ (вверх либо вниз от оси ОХ в зависимости от знака координат у, z). По оси OY получают горизонтальную проекцию А₁, по оси OZ - фронтальную А₂. Профильную проекцию А₃ строят по A₁ и А₂ (либо по координатам). Например, построим проекции точек А (10, 20,30) и С (20, -30, -10).

Взаимосвязь координат точки и ее проекций показаны на рис. 1.8, где 1.8, а - вид в аксонометрии, 1.8, б - комплексный чертеж.

Необходимо помнить, что положение горизонтальной проекции определяется координатами х и у, фронтальной проекции - коорди­натами х и z, профильной проекции координатами у и z. Тогда ор­дината у всегда характеризует положение горизонтальной проекции, а аппликата — фронтальной.

Исходя из тех же положений, решается обратная задача — определение координат точки по ее проекциям. Если на комплексном чер­теже изображены проекции точки, тогда, измерив, соответствующие расстояния, определяем ее координаты (см. рис. 1.8, б) Причем для определения всех трех координат достаточно двух проекций, т. к. любая пара проекций определяет три координаты.

Удаленность точки от плоскости проекций. Расстояние точки от какой-либо плоскости проекций определяет положение соответствующих проекций, а именно расстояние до П₁ ха­рактеризует положение фронтальной проекции расстояние до П₂ горизонтальной проекции, расстояние до П₁ - и горизонтальной и фрон­тальной проекций. Так, если известно, что точка А удалена от П₁, на 30 мм, тогда ее фронтальная проекция А₂ удалена от оси ОХ на 30 мм, если задано, что точка А удалена от П₃ на 10 мм, тогда А₁, и А₂, удалены от осей OZ и OY соответственно на это расстояние (см. рис. 1.8).

Е

Рис. 1.9

Рис. 1.10

сли сказано, что точка В расположена на 10 мм ближе, чем точка А к плоскости проекций П₂, тогда на комплексном чертеже это выглядит, как показано на рис. 1.9. Ясно, что при этом одна из про­екций совпадает с предыдущей, а положение двух других меняется соответствующим образом. Другой пример, где точка D расположе­на дальше от П₃, чем точка А, на 20 мм (см. рис. 1.9)

Симметрия. Симметричными относительно плоскости проекций считаются точки, расположенные на одинаковом расстоянии от нее, но с разных сторон. При этом меняется знак соответствующих координат точки. Например, пусть задано положение точки А. Требуется пост­роить точку М, симметричную точке А (см. рис. 1.8, б) относительно плоскости П₂, и точку N. симметричную точке А относительно плоскости П₁. Тогда проекции этих точек будут расположены на ком­плексном чертеже, как показано на рис. 1.10.