- •Методическое пособие
- •Минск 2007
- •Элементы векторной алгебры
- •Связь сферической системы координат с
- •Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
- •Аналитическая геометрия
- •Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
- •Пусть заданы точки м1(x1, y1, z1), m2(x2, y2, z2) и вектор .
- •Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки м(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •Собственные значения и собственные векторы
- •Приведение квадратичных форм к каноническому
- •Задания для контрольной работы Следует соблюдать основные требования по оформлению контрольной работы:
- •Содержание дисциплины
- •Координаты и векторы в трехмерном евклидовом пространстве.
- •Основы векторной алгебры.
- •Преобразования координат.
- •Основы теории матриц.
- •Определитель квадратной матрицы. Ассоциированные матрицы и обратные матрицы.
- •Системы линейных уравнений.
- •Прямые и плоскости.
- •Кривые на плоскости.
- •Алгебраические поверхности второго порядка в пространстве.
- •Квадратичные формы.
- •Линейные (векторные) пространства.
- •Линейная (не)зависимость векторов. Базисы. Размерность линеала.
- •Норма и скалярное произведение векторов.
- •Отображения линейных пространств.
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Литература
-
Прямые и плоскости.
Прямые на плоскости. Векторно-параметрическое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости в нормальной форме. Общее уравнение прямой на плоскости.. Уравнение прямой на плоскости в отрезках. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Связь между различными уравнениями прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости в полярных координатах. Взаимное расположение прямых. Плоскости в трехмерном евклидовом пространстве. Векторно-параметрическое уравнение плоскости. Уравнение плоскости в нормальной форме. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Связь между различными уравнениями плоскости. Взаимное расположение плоскостей.
Прямые в трехмерном евклидовом пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой. Канонические уравнения прямой. Общие уравнения прямой. Связь между различными уравнениями прямой.
-
Кривые на плоскости.
Общее понятие кривой на плоскости. Алгебраические кривые. Кривые второго порядка на плоскости.
Парабола. Каноническое уравнение. Фокус, директриса.
Эллипс. Каноническое уравнение. Большая и малая полуоси. Фокусы. Эксцентриситет. Фокальное свойство эллипса. Директрисы. Фокальный параметр. Частный случай: окружность.
Гипербола. Каноническое уравнение. Действительная и мнимая полуоси. Асимптоты. Фокусы. Эксцентриситет. Фокальное свойство гиперболы. Директрисы.
Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка с помощью преобразования поворота и параллельного переноса координат. Случаи вырождения кривых.
-
Алгебраические поверхности второго порядка в пространстве.
Общее понятие поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Канонические типы поверхностей второго порядка в трехмерном евклидовом пространстве.
Эллипсоид. Двухполостный гиперболоид. Однополостный гиперболоид. Конус второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости как конические сечения. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Эллиптический цилиндр. Гиперболический цилиндр. Параболический цилиндр. Вырожденные случаи.
-
Квадратичные формы.
Определение и классификация квадратичных форм. Приведение к диагональному виду. Метод Лагранжа. Сигнатура. Закон инерции квадратичных форм. Неравенства, определяющие знак квадратичной формы.. Одновременное приведение к диагональному виду двух квадратичных форм. Приложения: критерий типа кривых и поверхностей второго порядка. Приведение к каноническому виду. Примеры квадратичных форм в физике.
-
Линейные (векторные) пространства.
Аксиомы линейного пространства. Абстрактное понятие вектора. Примеры: множество рациональных чисел как линейное пространство; множество действительных чисел как линейное пространство; пространства R2 и Rn для любого n; множество всех действительных кусочно-непрерывных функций, заданных на отрезке; множество полиномов степени не выше n; множества параллельных плоскостей в трехмерном евклидовом пространстве. Множество комплексных чисел как линейное пространство.