Лабораторна робота № 7.

Тема: Метод інверсій.

Завдання: згенерувати дві вибірки і визначити чи належать вони одній генеральній сукупності. Порівняння робити за допомогою методу інверсій. Передбачити можливість порівняння двох вибірок згенерованих за різними законами розподілу. На екран повинні виводиться обидві вибірки, обсяг яких ≥ 10, а також таблиця в якій будуть відображатися обидві вибірки в упорядкованому вигляді, а також число інверсій і приналежність кожного значення вибіркам. У результаті роботи програми повинне бути видане повідомлення про те, що вибірка належить або не належить одній генеральній сукупності. Максимальний обсяг вибірок не менше ніж 1000 елементів.

Теоретичні відомості.

Нерідко доводиться порівнювати дві вибірки або дві серії незалежних спостережень однорідних величин X і Y, причому спостережувані значення x_i и y_i дають різні значення середніх або виявляються різні значення середніх. Виникає питання про те, чи можна вважати ці розбіжності істотними, значимими або їх варто приписати на неточність вибірок. Така необхідність виникає наприклад при порівнянні спостережень погрішностей показань двох екземплярів вимірювальних приладів, рядів спостережень погрішностей обробки двох верстатів і т.д. Метод інверсій служить для визначення приналежності 2^х вибірок одній генеральній сукупності. Цій же меті служать F і t критерії. Однак вони не працюють при малих обсягах вибірок. Метод інверсій може бути використаний при N≥10. Метод базується на теоремі Вількоксона. Відповідно до цієї теореми для вибірок однієї генеральної сукупності число інверсій повинно лежати в певному інтервалі.

Суть методу інверсій: цей метод ґрунтується на підрахунку числа інверсій, під якими розуміється наступне: спостереження , отримані у двох вибірках, розташовуються в загальну послідовність у порядку зростання їхніх значень, наприклад у вигляді:

y₁x₁x₂y₂y₃y₄x₃y₅y₆x₄, де x₁,…,x₄ – члени, що належать до першої вибірки, і y₁,…,y₆ – члени другої вибірки.

Якщо якому-небудь значенню x передує деякий y, то ми говоримо, що ця пара дає інверсію. Так наприклад, у нашій послідовності x₁ и x₂ дають по одній інверсій з y₁, що стоять на першому місці, x₃ дає чотири інверсії з y₂y₃y₄ і y₁ і x₄ дає шість інверсій з y₁y₂y₃y₄y₅y₆ , а всього інверсій у нашій послідовності буде 12.

Середнє довірчого інтервалу [C] визначається по наступній формулі:

, де N1,N2 – обсяги 1 і 2 вибірки відповідно. Дисперсія знаходиться так:

.

Також необхідно визначити ліву границю довірчого інтервалу і праву границю довірчого інтервалу.

t – критерій Стьюдента, залежить від обраної довірчої ймовірності і знаходиться по спеціальних таблицях. Довірча ймовірність визначає відсоток випадків, у яких ми можемо помилитися. Для різних завдань вибирається різна довірча ймовірність. Чим більш важливе завдання, тим цей рівень нижче. У більшості завдань техніки рівень ймовірності приймають за 5%. Якщо обчислені значення попадають у довірчий інтервал значить вибірки належать одній генеральній сукупності.

Тестовий приклад. Перевіримо гіпотезу про приналежності порівнюваних вибірок до однієї й тієї ж генеральної сукупності за допомогою методу інверсій. Нехай згенеровані дві вибірки за рівномірним законом:

1 вибірка: [ 37 72 96 53 12 17 76 21 85 89 ] , N1=10;

2 вибірка: [ 72 10 8 5 21 26 0 17 94 58] , N2=10;

, де N1 і N2 відповідно обсяг першої і другої вибірок.

Рахуємо інверсії по першій вибірці:

0 5 8 10 12 17 17 21 21 26 37 53 58 72 72 76 85 89 94 96

2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1

0 0 0 0 - - 2 - 3 3 - - 5 - 6 - - - 9 -

=50 – середнє;

175 – дисперсія;

I=2+3+3+5+6+9=28 – число інверсій.

Ліва границя – 24,0716371515

Права границя – 75,92836284

Результат: вибірки належать одній генеральній сукупності.