Лабораторна робота № 5.

Тема: Однофакторний дисперсійний аналіз.

Завдання: скласти програму для однофакторного дисперсійного аналізу.

Доповнення: як невелике дослідження можна підготувати тестові дані для даної програми в одному з наступних напрямків: чи впливає колір очей на рівень успішності в інституті, чи впливають оцінки по точних науках у школі на успішність в інституті або наприклад зрівняти рівень інтелекту декількох студентів, об'єднаних у групи, попередньо провівши тест на рівень ІQ.

Теоретичні відомості

Дисперсійний аналіз є одним з методів факторного аналізу. Ціль факторного аналізу: при побудові опису і моделюванні випадкових процесів виділити фактори, які істотно впливають на результат процесу, і проігнорувати всі інші. У досить загальному виді завдання однофакторного дисперсійного аналізу можна поставити в такий спосіб: нехай ми спостерігаємо m незалежних нормально розподілених величин X₁,X₂,…,X_m, припускаючи, що всі вони мають одне й те саме середнє квадратичне відхилення σ. Центри розподілу цих величин v₁,v₂,…,v_m, взагалі різні. Нехай над кожною змінною виробляється деяка серія з n спостережень . Дані і-ої серії нехай будуть:

X_i1,X_i2,…,X_in (i=1,2,…,m).

Опираючись на ці статистичні дані, ми бажаємо перевірити нульову гіпотезу, відповідно до якої v1=v2=…=vm. Якщо гіпотеза вірна, то зіставивши середні в кожній серії, ми не повинні одержати значимої розбіжності між ними.

Нехай, наприклад, при спільному аналізі точності групи вимірювальних приладів - подвійних мікроскопів - нас цікавить питання про те, чи можна вважати їхні систематичні помилки однаковими. Інакше кажучи, ми хочемо перевірити вплив одного фактора(систематичні помилки) - приладу на погрішність показань.

Нехай число приладів буде m і кожним приладом ми вимірюємо чистоту поверхні того самого зразка в певному місці n раз. Ці n вимірів ми розглядаємо як випадкову вибірку з генеральної сукупності показань кожного приладу. Усього ми маємо mхn вимірів, які позначимо через X_ij, де i- є номер приладу і j- номер зробленого на ньому випробування, так що i змінюється від 1 до m, а j – від 1 до n.

Таблиця вимірів результатів буде мати наступний вигляд:

№ приладу	№ виміру
	1	2	3	…	n
1	X11	X12	X13	…	X1n
2	X21	X22	X23	…	X2n
3	X31	X32	X33	…	X3n
…	…	…	…	…	…
m	Xm1	Xm2	Xm3	…	Xmn

В такий спосіб всі спостереження групуються. У кожній групі представлені спостереження отримані при певних значеннях у діапазоні значеннь досліджуваного фактору. Потім обчислюється міжгрупова і внутрішньогрупова дисперсія.

Розрахункові формули:

1. Міжгрупова дисперсія:

2. Внутрішньогрупова дисперсія:

, де m – кількість груп;

i – номер групи;

N_i – кількість спостережень в i-ій групі;

– середнє по i-ій групі;

– середнє значення по всій таблиці;

n – загальна кількість спостережень в таблиці;

j – номер стовпця в таблиці;

X_ij – j^е спостереження в i^ій групі

3. Обчислення критерія Фішера:

Обчислене значення порівнюється з табличним значенням. При цьому обчислюються ступені свободи k₁,k₂ :

k₁=m-1; k₂=n-m;

Результат:

Якщо F>F_табл., то досліджуваний фактор істотно впливає на результат процесу, інакше досліджуваний фактор не впливає на результат процесу.

Застосовуючи зазначений спосіб аналізу, варто обережно ставитися до тлумачення остаточних результатів, пам'ятаючи, що вони спираються в істотній мері на допущення:

1. нормальності розподілу;

2. тотожності дисперсій.

Кожне із цих допущень вимагає перевірки, заснованої на ретельному аналізі зроблених експерементів, або якщо істотність розбіжностей між середніми не виявлена й нульова гіпотеза одержала підтвердження, варто пам'ятати, що це зроблено лише по наявному досвідченому матеріалі й, головне, при тім угрупованні матеріалу, якого ми дотримувалися в цьому випадку.

Тестовий приклад:

Припускаючи, що довговічність електричної лампи має нормальний розподіл і розходження в матеріалі або технології впливають на середні значення. Розглянемо дані, показані в таблиці, що представляють проби, узяті із чотирьох партій, виготовлених з різних матеріалів.

№ партії	Тривалість горіння в годинах
1	1600	1610	1650	1680	1700	1700	1800
2	1580	1640	1640	1700	1750
3	1460	1550	1600	1620	1640	1660	1740	1820
4	1510	1520	1530	1570	1600	1680

Кількість спостережень в таблиці = 26

Ступені свободи:

K₁=3;

K₂=22;

Міжгрупова дисперсія D1 = 2316,3432

Внутрішньогрупова дисперсія D2 = 6822,44

F=0,3395; F_табл. = 4.87;

Висновок: F< F_табл. тому можна зробити висновок, що досліджуваний фактор не впливає істотно на тривалість горіння ламп.