Кроме того, при равновесии столбика ртути должно быть

р₂ = р΄₂ +ρgh·sinα и р₃ = р΄₃ + ρgh,

где ρ – плотность ртути.

Подставляя в уравнение закона Бойля-Мариотта вместо ℓ₂, ℓ₃, ℓ΄₂, ℓ΄₃, р₂ и р₃ их выражения, получим:

р₁ℓ₁ = (р΄₂ + ρgh·sinα)(ℓ₁ - Δℓ₁);

р₁ℓ₁ = (р΄₃ + ρgh)(ℓ₁ - Δℓ₂);

р₁ℓ₁ = р΄₂(ℓ₁ + Δℓ₁) и р₁ℓ₁ = р΄₃(ℓ₁ + Δℓ₂).

Решая полученное уравнение относительно р₁, найдем:

;

р₁ ≈ 6 мм рт. ст.

Пример 5. Считая водяной пар массой m = 180 г при температуре t = 127˚С идеальным газом, определить: 1) внутреннюю энергию пара; 2) среднюю энергию вращательного движения одной молекулы этого пара.

Р е ш е н и е. 1. Внутренняя энергия идеального газа есть полная кинетическая энергия всех молекул газа; она выражается формулой

(1)

где i – число степеней свободы молекулы газа;

М – молярная масса;

R – молярная газовая постоянная;

Т – термодинамическая температура.

Проверим формулу (1):

Запишем числовые данные в СИ: m = 0,18 кг, Т = 400 К, М = 18·10^-3кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль·К), i = 6, так как молекула водяного пара трехатомная.

Вычислим искомую внутреннюю энергию:

.

2. Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится в среднем энергия

где k – постоянная Больцмана.

Вращательному движению каждой молекулы приписывается некоторое число степеней свободы i_вр. Это относится ко всем молекулам, кроме одноатомных, для которых энергия вращательного движения равна нулю, как для материальных точек, размещенных на оси вращения.

Таким образом, энергия вращательного движения молекулы

Выпишем числовые значения величин в единицах СИ: k = 1,38·10^-23 Дж/К; i_вр = 3, так как вращательному движению трехатомной молекулы соответствует три степени свободы.

Выполнив подстановку и вычисления, получим

Пример 6. Вычислить удельные теплоемкости с_V и с_р смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют ω₁ = 80 % и ω₂ = 20%. Удельная теплоемкость неона с_V,1 = 6,24·10² Дж/(кг·К), удельная теплоемкость водорода с_V,2 = 1,04·10⁴ Дж/(кг·К).

Р е ш е н и е. Удельную теплоемкость с_V смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ΔТ, выразим двумя способами:

Q = c_V(m₁ + m₂)ΔT,

Q = (c_V,1m₁ + с_V,2m₂)ΔT,

где с_V,1 - удельная теплоемкость неона;

с_V,2 - удельная теплоемкость водорода.

Приравнивая правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на ΔТ, получим:

c_V (m₁ + m₂) = c_V,1m₁ + с_V,2m₂.

Отсюда

,

или

,

где и

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

.

Произведем вычисления:

Пример 7. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V₁ = 1 м³ и находится под давлением р₁ = 0,2 МПа. Газ бал нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂ = 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления р₃ = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Р е ш е н и е. Изменение внутренней энергии газа

(1)

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5);

ΔТ = Т₃ – Т₁ – разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона

откуда

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:

А₂ = 0.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

А = А₁ + А₂ = А₁.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А:

Q = ΔU + А.

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода М = 32·10^-3кг/моль:

;

График процесса приведен на рис. 2.

3

2

1

Рис. 2.

Пример 8. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру t₁ = 197˚С. Определить температуру охладителя, если ¾ теплоты, полученной от нагревателя, газ отдает охладителю.

Р е ш е н и е. Термодинамический КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, выражается формулой

(1)

или, как для любого цикла,

(2)

где Т₁ и Т₂ – соответственно термодинамические температуры нагревателя и охладителя;

Q₁ – теплота, полученная газом от нагревателя;

Q₂ – теплота, отданная газом охладителю.

Приравнивая правые части формулы (1) и (2), получим:

(3)

После простых преобразований уравнение (3) примет вид Т₂/Т₁ = Q₂/Q₁, откуда

(4)

Подставим числовые значения [T₁ = (197 + 273) К = 470 К, Q₂ = ¾ Q₁] в (4) и вычислим:

Пример 9. Имеется медный сосуд массой 1 кг, внутри сосуда 2 л воды при температуре 18˚С. В сосуд опустили 100 г льда при t = -5˚С, весь лед расплавился. Найти: установившуюся температуру и изменение энтропии системы.

Р е ш е н и е. Записываем краткое условие, переводим данные в СИ:

В процессе взаимодействия, сосуд с водой будут отдавать тепло, лед – получать тепло.

Запишем уравнение теплового баланса:

где Т_К = (t_кон + 273) К, Т_пл = 273 К – температура плавления льда, с₁ = 395 Дж/(кг· К) – теплоемкость меди, с₂ = 4190 Дж/(кг·К) – теплоемкость воды, с₃ = 2100 Дж/(кг·К) – теплоемкость льда, λ = 335 ·10³ Дж/кг –удельная теплота плавления льда.

Дано:

M_Cu = 1 кг = m₁

T_Cu = 291 K = T₁

m_льда = 0,1 кг = m₃

T_льда = 268 К = Т₂

t_кон. - ? ΔS - ?

Решаем уравнение относительно Т_К:

Установившаяся температура равна 14˚С.

Составим уравнение для изменения энтропии системы

. (1)

При изменении температуры

(2)

Используя уравнения (1) и (2), получим:

Пример 10. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Р е ш е н и е. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

где r – радиус пузыря. Так как r = d/2, то

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на ΔS, выражается формулой

А = α ΔS, или А = α (S - S₀).

В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; S₀ – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S₀, получаем

А = α S = 2πd ² α.

Произведем вычисления: