Примеры решения задач

В данной контрольной работе рассматриваются задачи на темы:

1. Нахождение концентрации молекул газа.

2. Уравнение Клапейрона-Менделеева.

3. Нахождение кинетической энергии молекул.

4. Нахождение теплоемкости газов.

5. Первое начало термодинамики.

6. Цикл Карно.

7. Изменение энтропии.

8. Поверхностное натяжение и капиллярные явления.

Пример 1. Определить: 1) число атомов, содержащихся в 1 кг гелия; 2) массу одного атома гелия.

Р е ш е н и е. 1. Число молекул в данной массе газа

,

где m – масса газа;

М – молярная масса;

ν = m/M – количество вещества,

N_А – постоянная Авагадро.

Поскольку молекулы гелия одноатомны, число атомов в данной массе газа равно числу молекул.

Запишем величины, входящие в формулу , в СИ: М = 4 ∙ 10^-3 кг/моль, N_A = 6.02 ∙ 10²³ моль^-1.

Найдем искомое число атомов:

.

2. Для определения массы m_i одного атома массу газа разделим на число атомов в нем:

,

подставив числовые значения величин в (2), получим

Пример 2. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p₁ = 1 МПа и при температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290 К. Определить давление p₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Р е ш е н и е. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-

Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

, (1)

где m₂ – масса гелия в баллоне в конечном состоянии;

М – молярная масса гелия;

R – молярная газовая постоянная.

Из записанного уравнения выразим искомое давление:

. (2)

Массу m₂ гелия выразим через массу m₁, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

m₂ = m₁ – m . (3)

Массу m₁ гелия найдем также из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

. (4)

Подставив выражение массы m₁ в (3), а затем выражение m₂ в (2), найдем

или (5)

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (Т₂/Т₁) – безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое:

Паскаль является единицей давления. Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что М = 4 ∙ 10^-3 кг/моль:

Пример 3. Баллон содержит m₁ = 80 г кислорода и m₂ = 320 г аргона. Давление смеси p = 1 Мпа, температура Т = 300 К. принимая данные газы за идеальный определить объем V баллона.

Р е ш е н и е. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева-Клапейрона, парциальные давления p₁ кислорода и p₂ аргона выражаются формулами

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов

откуда объем баллона равен

Произведем вычисления, учитывая, что М₁ = 32 · 10^-3 кг/моль, М₂ = 40 · 10^-3 кг/моль:

Пример 4. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки находится столбик ртути длиной h = 19,6 мм. Если трубку поставить под углом α = 30⁰ к горизонту, то столбик ртути переместится на Δℓ₁ = 20 мм; если поставить вертикально – на Δℓ₂ = 30 мм. До какого давления откачен воздух из трубки?

Р е ш е н и е. В задаче говорится о трех состояниях двух газов одинаковой массы, разделенных столбом ртути (рис. 1). В процессе перемещения трубки из горизонтального положения в вертикальное вследствие смещения столбика ртути газ, находящийся в правой части трубки, будет расширяться, а в левой – сжиматься.

Рис.1

Так как по условию задачи масса и температура не меняются, то для каждой пары состояний каждого газа должно иметь место уравнение закона Бойля - Мариотта. Совокупность этих уравнений полностью характеризует изотермический процесс, описываемый в данной задаче.

Состояние газа при горизонтальном положении трубки примем за первое состояние. Вторым будем считать состояние газа в наклонной трубке, третьим – состояние газа при вертикальном положении трубки.

Обозначим давление газа в левой части трубки в каждом из этих состояний через р₁, р₂, р₃, длину столбов воздуха через ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃, тогда, применяя закон Бойля-Мариотта для каждой пары состояний и учитывая, что площадь поперечного сечения трубки всюду одинакова, получим:

р₁ℓ₁ = р₂ℓ₂; р₁ℓ₁ = р₃ℓ₃.

Аналогично для газа, заключенного в правой части трубки:

р₁ℓ₁ = р΄₂ℓ΄₂; р₁ℓ₁ = р΄₃ℓ΄₃,

так как в первом состоянии давления и объемы газа в обеих частях трубки были одинаковы.

Если при отклонении трубки от горизонтального положения на угол α столбик ртути сместился на расстояние Δℓ₁, при отклонении на угол 90˚ - на расстояние Δℓ₂, то как видно из чертежа,

ℓ₂ = ℓ₁ - Δℓ₁; ℓ₃ = ℓ₁ - Δℓ₂;

ℓ΄₂ = ℓ₁ + Δℓ₁; ℓ΄₃ = ℓ₁ + Δℓ₂.