2.2. Модуляція неперервного гармонічного коливання

Математична модель неперервного модульованого коливання у випадку гармонічного переносника може бути записана в загальному вигляді:

s(t) = A_m(t)cos[], (1)

де A_m(t) - функція, що описує закон зміни амплітуди переносника в часі; - фун-

кція, що описує закон зміни повної фази в часі.

Зміна функції А_m(t) повинна бути повільною порівняно з cos, так що за час, протягом якого зміниться на 2, функцію А_m(t) можна вважати сталою. Функцію A_m(t) називають обгинаючою, а - повною фазою модульованого коливання. ММ такого коливання інколи записують у вигляді:

, (2)

де та - повільно змінні в часі кутова частота та фаза коливання.

2.2.1. Математичні моделі та основні параметри амплітудно-модульованих сигналів

АМ - сигнал утворюється при зміні амплітуди несучого коливання пропор-ційно до модулюючого сигналу відносно амплітуди немодульованого коливання:

(3)

де А_mo - амплітуда несучого (немодульованого) коливання; k - коефіцієнт пропор-

ційності; u(t) - модулюючий (керуючий) сигнал.

Повна фаза АМ-сигналу змінюється у часі так, як і повна фаза несучого ко-ливання, тобто за лінійним законом:

(4)

де та - кутова частота та початкова фаза несучого коливання.

Отже, ММ АМ-сигналу записуємо у вигляді:

, (5, а)

або з урахуванням (4):

. (5, б)

Із виразів (5, а, б) бачимо, що АМ - сигнал є добутком обгинаючої А_m(t) і високочастотного коливання .

На рис. 1, а зображено приклад модулюючого сигналу u(t), на рис. 1, б – об-гинаючу амплітуди А_m(t), на рис. 1, в АМ-сигнал при , та на рис. 1, г - при .

Із рис. 1. бачимо, що між миттєвими значеннями модулюючого сигналу u(t) та обгинаючої А_m(t) за умови, що існує однозначний пропорційний зв'язок. При невиконанні вказаної умови форма обгинаючої та модулюючого коливання не збігаються (рис. 1, г) - виникає небажане явище спотворення обгина-ючої АМ-сигналу.

У найпростішому випадку однотональної модуляції, коли модулюючий сигнал ku(t) = U_cos(t+Ф₀) є гармонічним коливанням з частотою та початко-вою фазою Ф_0, ММ АМ-сигналу можна записати:

. (6)

Відношення М = U_/A_mo називають коефіцієнтом модуляції. Його значення можна також визначити на підставі осцилограми АМ-сигналу (рис. 1, в) з формули:

.

Для здійснення модуляції без спотворень треба, щоб коефіцієнт модуляції задовiльняв умову: . При тому амплітуда коливання змінюється у межах від мінімальної величини A_min= A_mo(1-M) до максимальної A_max = A_mo(1+M).

У більш загальному випадку, коли модулююче коливання складається з N гармонічних складових, тобто

, (7)

MM модульованого коливання (яке називають складномодульованим) за-писуємо у вигляді:

(8)

де величини M_i = U_i/A_mo - називають парціальними коефіцієнтами модуляції. Вони характеризують вплив окремих складових багатотонального коливання з частотами ₁, ₂, ... , _N на загальну зміну амплітуди модульованого коливання.