Методичні вказівки

Вивчаючи матеріал цього розділу, треба зрозуміти поняття про рідину як суцільне (непереривне) середовище. Це поняття грунтується на тому, що розглядувані об'єми (частинки) незрівнянно великі в порівнянні з розмірами молекул та міжмолекулярними відстанями.

Потрібно мати чітке поняття про абсолютний, надмірний і вакууметричний тиски, а також про зв'язок між висотою шару рідини і тиском у точці.

Спеціально вирізнено питання про абсолютну і відносну рівнова­гу рідини.

Вивчаючи сили тиску рідини на плоскі поверхні треба уявляти визначення точок прикладання сили ваги, центра ваги, сили тиску й центра тиску.

Для цього доцільно використати епюри тиску.

Запитання для самоконтролю

1. Яки сили діють на рідини, що перебувають у спокої? Що називають масовими й поверхневими силами?

2. Що виражає система рівнянь Ейлера для гідростатики?

3. Що називають основним рівнянням гідростатики? Розшифруйте його.

4. Запишіть математичний вираз закону Паскаля.

5. Що називають абсолютним, надмірним та вакууметричним тисками? Запишіть відповідні співвідношення.

6. Намалюйте епюру гідростатичного тиску рідини на плоску вертикальну поверхню.

7. Що називають відносним спокоєм рідини? Яка різниця між абсолютним і відносним спокоєм?

8. Як визначають силу тиску рідини на плоску поверхню?

9. У чому сенс гідростатичного парадокса? Наведить фізичне тлумачення цього явища.

Розділ 2. Гідродинаміка

Гідродинаміка – розділ гідравліки, який вивчає закони руху рідини та взаємодію між рідиною та твердими тілами за їх відносним рухом.

В інженерній практиці використовується об'єм рідини скінчених розмірів, що рухається, який має назву потік. Потік може бути стаціонарним або усталеним в умовах, коли параметри його не змінюються в часі. Неусталений, або нестаціонарний потік має параметри, які змінюються в часі.

У прикладній гідравліці струминну модель називають одновимірною, оскільки вважають, що параметри швидкості, тиску тощо залежать тільки від однієї геометричної координати. Реальні потоки скінчених розмірів не одномірні через вплив в'язкості й межових поверхонь. Відночас деякі потоки, вивчення яких має практичне значення, можна замінити одновимірними моделями. Наприклад, стікання в циліндричних трубах, де швидкості в перерізі розподілені нерівномірно, можна замінити рухом із середньою швидкістю, однаковою для всіх точок даного перерізу.

Об'єм рідини, який проходить через переріз потоку за одиницю часу, називається об'ємною витратою

, ( 11 )

де u – середня швидкість потоку, яка нормальна до перерізу;

F – площа перерізу потоку.

Швидкість u приймається сталою по усій площі перерізу.

Рівняння нерозривності (суцільності) потоку

Розглянемо усталений потік ідеальної (нестисливої) рідини в каналі (рис. 10) Вважаємо, що бічна поверхня каналу непроникна, та приймаємо гіпотезу суцільності рідини, коли всередині об'єму не виникає поглинання маси чи її генерації. В цьому випадку об'єми рідини, які проходять крізь перерізи 1 – 1 і 2 – 2 за час t, дорівнюють W₁= W₂ або Q₁t = Q₂t, тобто Q₁ = Q₂. Тоді рівняння нерозривності (суцільності) потоку набирає вигляду

Рис. 10

або ( 12 )

Це рівняння виражає сталість масової витрати рідини вздовж потоку.

Одиниця вимірювання витрати м³/с, однак для практичних розрахунків в машинобудуванні використовується несистемна одиниця л/хв тобто літри в хвилину.

Вираз ( 12 ) слушний лише для ідеальної рідини. Розглядаючи реальні рідини, треба мати на увазі, що вони стисливі, тобто об'єми W₁ ≠ W₂, а в наслідок внутрішнього тертя швидкості в різних точках перерізу потоку не однакові і розподілені за різними законами.

Диференціальні рівняння руху ідеальної рідини (рівняння Ейлера). Основне рівняння гідродинаміки потоку ідеальної рідини.

Розглянемо усталений потік ідеальної (нестисливої та нев'язкої) рідини. В такому потоку сили внутрішнього тертя відсутні. Для умов рівноваги рідини одержано систему рівнянь Ейлера для гідростатики ( 1 )

Щоб знайти рівняння руху, скористаймося принципом Даламбера, тобто необхідно до діючих сил додати сили інерції, які віднесені до одиниці маси (одиничні сили інерції).

Відповідні сили інерції в напрямку осей дорівнюють

де U_x, U_y, U_z – проекції швидкості на осі x, y, z, а t – час.

Додаємо ці сили

( 13 )

Рівняння ( 13 ) мають назву диференціальних рівнянь Ейлера для гідродинаміки нев'язкої рідини.

Перетворимо систему ( 13 ) таким чином. Помножимо кожну строчку системи на відповідні переміщення dx, dy, dz і додамо

або

( 14 )

Вираз в дужках в правій частині можна спростити.

Переміщення dx, dy, dz являють собою добутки проекції швидкості на час dx = U_xdt; dy = U_ydt; dz = U_zdt;

Таким чином вираз в дужках буде мати вид

маючи на увазі, що

; ;

сума дорівнює

тобто являє собою повний диференціал функції швидкості.

Вирішуючи рівняння ( 14 ) відносно dp, маємо

( 15 )

Рівняння ( 15 ) має назву основного рівняння гідродинаміки в диференціальній формі. Тиск в довільній точці ідеальної рідини, яка рухається, є функція координат цієї точки і швидкості її руху.

Рівняння Бернуллі для усталеного потоку ідеальної рідини, яка знаходиться під дією лише сили ваги.

Виберемо систему координат таким чином, щоб ось z була прямовисною. В цьому разі одиничні сили дорівнюють X = 0; Y = 0; Z = –g, а основне рівняння ( 15 ) має вираз

, або .

Проінтегрувавши, будемо мати

, або

Якщо розглянути точки 1 і 2, можна дістати

( 16 )

Вираз (16 ) являє собою математичний запис рівняння Бернуллі.

Доданки в рівнянні ( 16 ) мають назви:

z₁, z₂ – геометричний напір;

– п'єзометричний напір;

– швидкісний напір;

Н₀ – повний або гідродинамічний напір.

Одиниця вимірювання напорів – одиниці довжини – метри.

Таким чином сума напорів в усіх точках усталеного потоку ідеальної рідини є величина стала.

Енергетичне тлумачення рівняння Бернуллі можна подати як суму енергій. Доданки в рівнянні Бернуллі виражають: геометричний напір – питому потенціальну енергію положення, п'єзометричний напір – питому потенціальну енергію тиску, швидкісний напір – питому кінетичну енергію руху.

Таким чином сума питомих потенціальних і кінетичної енергій в усіх точках усталеного потоку ідеальної рідини є величина стала.

Рівняння Бернуллі визначає закон збереження енергії.

Аналіз рівняння Бернуллі

Розв'язуючи багато практичних завдань, рівняння Бернуллі використовують разом з рівнянням нерозривності uF = const. Якщо зменшується F, то u збільшується. Відповідно з рівнянням Бернуллі збільшення u в горизонтальному каналі

( z₁ = z₂ ) веде до зменшення тиску. У випадку, коли F дуже мала, тиск може стати меншим за атмосферний. Це може призвести до підсмоктування повітря в гідросистему. Передачу енергії в потоці можливо здійснювати, змінюючи кожен з членів рівняння Бернуллі. Стосовно гідроприводів, які використовуються в машинобудуванні, основним видом є енергія тиску (п'єзометричний напір). Для ланок керування використовується кінетична енергія потоку. Енергія положення змінюється дуже мало і нею нехтують.

Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини.

Якщо перейти від ідеальної рідини до потоку реальної рідини треба мати на увазі такі особливості. Під час руху в'язкої рідини частина енергії витрачається на подолання сил опору, отже вздовж потоку питома енергія зменшується. Також треба урахувати нерівномірність розподілу швидкостей у перерізі потоку (рис. 11)

Рис. 11 Розподіл швидкостей у перерізі а – для ідеальної рідини, б – для реальної рідини

Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини має вигляд

( 17 )

В цій формулі

– втрати напору на подолання гідравлічних опорів між перерізами 1 і 2;

Δp – втрати тиску на подолання гідравлічних опорів;

α – коефіцієнт Коріоліса, якій ураховує нерівномірність розподілу швидкостей у перерізі.

Гідравлічні опори

В практичних розрахунках постає потреба знайти величину втрат тиску ∆p при використанні рівняння Бернуллі ( 17 ). Під час руху рідини в потоках, обмежених твердими стінками (трубах, каналах) виникають деформації потоку, які призводять до дисипації енергії.

Дії на потік, які призводять до втрат енергії, називаються гідравлічними опорами.

Гідравлічні опори поділяють на два види – втрати тиску на довжині потоку і втрати тиску в місцевих опорах.

Гідравлічні опори на довжині спричиняє гальмівна дія стінок потоку, яка пов'язана з прилипанням до них рідких частинок, тобто які обумовлюються внутрішніми силами, пов'язаними з в'язкістю рідини.

Втрати тиску в місцевих опорах виникають внаслідок різких змін форми межових поверхонь, ці втрати обумовлюються дією зовнішніх сил – сил ваги, інерційних сил, пов'язаних з масою рідини.

Для визначення повних гідравлічних втрат застосовують принцип додавання втрат тиску на окремих ділянках і в місцевих опорах

( 18 )

де Δp_l – втрати тиску по довжині потоку, які пропорційні довжині каналу;

Δp_мо – втрати тиску в місцевих опорах, які виникають при зміні величини та положення вектора швидкості руху рідини, тобто коли виникають прискорення, і пов'язані з ними сили інерції.

Втрати тиску Δp виникають в потоці рідини, яка рухається в каналах. Тому вони визначаються як частина швидкісного напору

або ( 19 )

де А – коефіцієнт пропорціональності, який показує яку частку швидкісного напору складають втрати.

Втрати тиску Δp в значній мірі залежать від режиму руху рідини в каналах.

Питання про режими руху рідини докладно дослідив англійський фізик Рейнольдс О. Встановлено, що мають місце два режими руху рідини – ламінарний і турбулентний ( рис. 12 )

Рис. 12

Схема стікання рідини в різних режимах руху: ламінарне, перехідна ділянка стікання, турбулентне.

Ламінарне стікання має шаруватий характер, це рух рідини без пульсації швидкості і відбувається без перемішування частинок. Закон зміни швидкості в поперечному перерізі труби являє собою квадратичну параболу. ( рис. 13 )

Рис. 13

Середня швидкість в перерізі дорівнює половині максимальної , а коефіцієнт Коріоліса α = 2.

Турбулентне стікання – це рух рідини з пульсацією швидкості, частинки рухаються хаотично і перемішуються. Закон зміни швидкості в поперечному перерізі труби близький до логарифмічного ( рис. 14 ).

Рис. 14

В цьому разі середня швидкість в перерізі дорівнює ( 0.8 – 0.9 )U_max, а коефіцієнт Коріоліса α = 1.0…1.1.

Одним із найважливіших параметрів потоку є безрозмірний комплекс, який називається числом Рейнольдса:

( 20 )

де U – швидкість потоку;

d_r – гідравлічний діаметр каналу;

ν – кінематична в'язкість рідини.

Гідравлічний діаметр каналу визначається як

( 21 )

де F – площа перерізу каналу;

П – периметр каналу.

Гідравлічний діаметр являє собою узагальнену характеристику перерізу.

Наприклад, для круглої труби

,

тобто гідравлічний діаметр дорівнює геометричному.

Досліди Рейнольдса засвідчили, що перехід від ламінарного руху до турбулентного залежить від значення Re. Зі збільшенням числа Рейнольдса течія втрачає стійкість, і ламінарний рух перетворюється на турбулентний. У потоці виникає перемішування, в ньому утворюються вихори.

Число Рейнольдса, за якого ламінарний рух перетворюється на турбулентний й навпаки, називають критичним Re_кр. Питанням нестійкості ламінарного стікання й умов переходу його в турбулентне присвячено багато досліджень. Найчастіше під час розрахунку трубопроводів приймають значення Re_кр= 2100 – 2300.

Критичне число Рейнольдса не є стале, а залежить від умов входження рідини в трубу, шорсткості її стінок тощо. Значення критичного числа Рейнольдса характеризує явище гістерезису під час переходу ламінарного стікання в турбулентне й навпаки.

Якщо розраховане число Рейнольдса для конкретних умов стікання менше ніж критичне – рух ламінарний, якщо більше ніж критичне – рух турбулентний.

Втрати тиску на довжині потоку визначаються за формулою Дарсі

( 22 )

де l – довжина каналу;

d_r – гідравлічний діаметр каналу;

U – швидкість руху рідини в каналі;

ρ – густина рідини;

λ – коефіцієнт гідравлічного тертя (коефіцієнт Дарсі).

Коефіцієнт Дарсі λ залежить від режиму руху рідини, форми перерізу каналу, шорсткості поверхні каналу та інших умов. Якщо режим стікання ламінарний, коефіцієнт Дарсі може бути розрахований аналітичними методами.

Для круглого перерізу ; для квадратного перерізу ;

для щілинного каналу .

Шорсткість внутрішньої поверхні труб порушує геометричну подібність, тому величина коефіцієнта Дарсі λ залежить від форми і розташування нерівностей. Величину відношення середньої висоти нерівностей Δ до діаметра d називають відносною шорсткістю, а обернену до неї – відносною гладкістю.

Дослідні дані з визначення коефіцієнта гідравлічного тертя обробляються у вигляді залежностей (експерименти Нікурадзе):

Теорію турбулентного стікання розроблено не досить добре, оскільки потік має складний механізм. Напівемпірічні теорії турбулентності, що були розроблені вченими Прандтлем, Карманом, Буссінеском, Альтшулем, Нікурадзе, дозволили дістати низку результатів, добре узгоджених з досвідом.

Для визначення коефіцієнта гідравлічного тертя λ запропо­новано декілька емпіричних формул.

Наприклад, формула Блазіуса має вигляд

( 23 )

Межі областей застосування різних формул для визначення λ наводяться у довідниках.

Яким чином змінюються втрати тиску при переході ламінарного стікання в турбулентне?

Розглянемо стікання рідини в круглому каналі для якого число Рейнольдса становить Re = 2200, тобто на межі критичного. Якщо стікання ламінарне, коефіцієнт Дарсі дорівнює

.

Якщо стікання турбулентне, будемо мати

.

Тобто, коефіцієнт Дарсі у випадку турбулентного стікання в 1.5 рази збільшився в порівнянні з ламінарним, втрати тиску згідно з ( 22 ) також будуть більшими.

Місцеві гідравлічні опори виникають завжди, коли швидкість змінюється за величиною – раптова чи плавна зміни перерізу, за напрямком – рух рідини в колінах, кутниках, відводах трубопроводів, за величиною й напрямком – рух рідини через апаратуру (крани, клапани, розподільники).

Втрати тиску в місцевих опорах визначають за формулою Вейсбаха

( 23 )

де ζ – безрозмірний коефіцієнт місцевого опору (або коефіцієнт місцевих втрат),

U – середня швидкість за місцевим опором.

Коефіцієнти місцевого опору для різноманітних типів опорів наводяться в довідниках (Свешников В.К., Усов А.А. Станочные гидроприводы: Справочник. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1988. – 512 с.)

Наприклад, місцевий опір в вигляді діафрагми (рис. 15) являє собою плоску перегородку з круглим отвором діаметром d у центрі.

Коефіцієнт місцевого опору залежить від співвідношення діаметрів . При ; ζ = 1,

при ; ζ = 70.

Рис. 15

Другий приклад. Місцевий опір в вигляді раптового повороту труби. (рис. 16)

Коефіцієнт місцевого опору зале­жить від кута α коліна.

При α = 30º; ζ = 0.155,

при α = 90º; ζ = 1.19.

Рис. 16

Зміна напрямку вектора швидкості приводить до виникнення сили інерції.

Практичне використання рівняння Бернуллі

1. Трубка Піто – Прандтля для вимірювання швидкості руху рідини і газів ( рис. 17 )

Складається з вертикальної трубки 1, яка є п'єзометром, і вертикальної трубки 2 з загнутим проти течії нижнім кінцем.

Рис. 17

Для перерізів I – I і II – II можна записати рівняння Бернуллі

; якщо канал горизонтальний, z₁ = z₂; в трубці 1 діє тільки п'єзометричний напір , в трубці 2 діє також і швидкісний напір ; Перевищення рівня в трубці 2 над рівнем в трубці 1 дорівнює , звідки можна визначити , якщо не враховувати втрати, пов'язані з в'язкістю рідини.

2. Визначення максимальної висоти встановлення насоса над рівнем рідини в гідравлічному баку.

Розрахункова схема всмоктувального трубопроводу показана на рис. 18.

Розглянемо перерізи I – I і II – II. Переріз I – I співпадає з рівнем рідини в баку, переріз II – II з входом в насос. Довжина всмоктувального трубо­про­воду дорівнює h.

Рис. 18

Запишемо рівняння Бернуллі для перерізів I – I і II – II.

.

Для наших умов z₁ = 0; z₂ = h; тиск p₁ дорівнює атмосферному.

Площа перерізу I – I набагато більша площі всмоктувального трубо­про­воду II – II ( F₁ >> F₂ ). В цьому випадку U₁ << U₂. Можна прийняти що U₁ = 0.

Із рівняння Бернуллі маємо .

Різниця , якщо тиск p₂ дорівнює абсолютному тискові на вході насоса. Цей тиск наводиться в технічній характеристиці насоса.

Швидкість руху рідини U₂ можна визначити через витрату у всмоктувальному трубопроводі, яка дорівнює подаванню насоса:

; , де d_т – внутрішній діаметр трубопроводу.

Втрати тиску у всмоктувальному трубопроводі Δp визначаються з (18).

Втрати тиску по довжині трубопроводу можна визначити за формулою Дарсі ( 22 ), а місцевим опором буде фільтр, втрати тиску в якому наводяться в технічній характеристиці, тобто . Щоб забезпечити геометричну висоту h додатною, необхідно, щоб зберігалась умова

.

Треба зауважити, що у всмоктувальному трубопроводі тиск менший за атмосферний, тобто має місце розрідження. Діаметр всмоктувального трубопроводу звичайно вибирають так, щоб швидкість рідини у ньому не перевищувала 0.8 – 1.0 м/с.

Витікання рідини крізь отвір у тонкій стінці

Характер витікання крізь отвори вивчали ще в сиву давнину, оскільки потрібно було визначати витрату витікаючої рідини. З розвитком техніки коло завдань, пов'язаних з витіканням рідини крізь отвори, розширювалося. До них долучилися такі, як визначення часу спорожнення посудин, конструювання сопел, форсунок для розпилювання палива, вони складають основу розрахунків дроселів, клапанів, карбюраторів, амортизаторів та інших пристроїв. Головним завданням проектування таких систем є знаходження залежності між перепадом тиску на отворі і витратою витікаючої рідини. Отвором в тонкій стінці називають отвір, гідравлічний діаметр якого більший товщини стінки.

Схема розрахунку наведена на рис. 19.

Розглянемо два перерізи І – І перед отвором і ІІ – ІІ в місці стиснення струмини.

Позначимо F₁, F₂ – площі перерізів;

U₁, U₂ – швидкості рідини; p₁, p₂ – тиски;

z₁, z₂ – координати центрів ваги перерізів;

F₀ – площа отвору.

Рис. 19

Численні дослідження засвідчують, що під час руху крізь отвір струмина на виході має менший поперечний переріз, ніж сам отвір. Це можна пояснити тим, що периферійні відносно осі отвору шари рідини під дією інерційних сил рухаються по криволінійній траєкторії, витискуючи потік від стінок. Струмина стискується і на відстані приблизно півдіаметра від стінки досягає свого мінімального перерізу F₂. Відношення має назву коефіцієнта стиснення струмини.

Рівняння Бернуллі для випадку стікання реальної рідини крізь отвір запишемо

;

Якщо струмина горизонтальна, z₁ = z₂.

Маючи на увазі, що F₁ >> F₂, маємо U₁ << U₂. Можна прийняти, що U₁ = 0. Отвір можна розглянути як місцевий опір, тобто втрати в отворі обчислювати за формулою Вейсбаха ( 23 )

Таким чином рівняння Бернуллі можна перетворити

.

Позначимо – як перепад тиску на отворі.

Розв'язуючи рівняння відносно U₂, дістаємо

або .

Позначимо , де φ – має назву коефіцієнт швидкості. Коефіцієнт швидкості визначає відношення справжньої швидкості витікання крізь отвір до теоретичної.

Таким чином

З рівняння суцільності ( 11 ) витрата рідини крізь отвір буде

або .

Маючи на увазі вираз швидкості U₂, дістанемо

.

Добуток εφ позначимо через μ і назвемо коефіцієнтом витрати. Коефіцієнт витрати визначає відношення справжньої витрати до теоретично можливої, тобто для випадку, коли немає ані опору, ані стиснення потоку. Отже, коефіцієнт витрати завжди менший за одиницю. Тоді вираз для витрати через отвір

(24)

Результат розрахунку за формулою ( 24 ) – м³/с, якщо F₀ виражати в м²,

Δp – Па, а ρ – кг/м³.

Формулу ( 24 ) можна записати так

( 25 )

в якій результат буде в л/хв, якщо F₀ виражати в мм², Δp₀ – МПа, а ρ – кг/м³.

Для малов'язких рідин, які витікають крізь отвір, під час розрахунків можна користуватися усередненими значеннями α = 1;

ζ = 0.065; φ = 0.97; ε = 0.64 – 0.67; μ = 0.62 – 0.65. Для мінеральних масел μ = 0.65; ρ = 850 кг/м³. Підставляючи ці значення в ( 25 ), маємо

л/хв. ( 26 )

В цій формулі F₀ – мм²; Δp₀ – МПа.

Формули ( 24 ), ( 25 ), ( 26 ) використовуються в розрахунках витрат рідини через дроселі в гідроприводах.