Критерії бувають однобічні і двосторонні

У випадку, коли H₁ сформульована у виді θ ≠ θ₀, використовується двосторонній критерій (рис. 7).

Рис.7. Приклад критичної області для двостороннього і однобічного критерію

Якщо ж ми формулюємо Н₁, у виді θ < θ₀ (чи θ > θ₀), то в цьому випадку використовується однобічний критерій (рис. 7).

Перевірка гіпотез звичайно проходить наступні етапи.

1. Визначення статистичної моделі. Тут висувають деякий набір передумов щодо закону розподілу випадкової величини і його параметрів. Наприклад, закон розподілу нормальний, величини незалежні й ін.

2. Формулюють Н₀ і Н₁.

3. Вибирають критерій (критеріальну статистику), що підходить до висунутої статистичної моделі.

4. Вибирають рівень значущості  залежно від необхідної надійності висновків.

5. Визначають критичну область для перевірки Н₀.

6. Розраховують значення обраного статистичного критерію для наявних даних.

7. Розраховане значення критерію порівнюють із критичним. і потім вирішують прийняти чи відхилити Н₀.

Перевірка статистичних гіпотез здійснюється з допомогою різних статистичних критеріїв: параметричних або непараметричних. При виборі критерію, крім інших умов, необхідно враховувати чи вибіркові сукупності є зв’язаними чи незалежними. Прикладами перших сукупностей є вибірки з попарно зв’язаними варіантами (кількість гемоглобіну в крові пацієнтів до і після лікування, різні фізіологічні показники спортсменів до і після старту). Сукупності другого роду не зв’язані між собою і можуть мати різні обсяги (результати дослідження крові в декількох груп хворих з різними стадіями захворювання, результати дослідження піддослідної та контрольної груп тварин)

При виборі критерію необхідно завжди виходити з прикладної постановки задачі і природи даних.

Комп’ютерне розв’язування задач

У програмному забезпеченні "Star Office Spreadsheets" передбачена можливість вирішення багатьох важливих задач медичної біостатистики. При цьому забезпечується висока точність обчислень, можливість роботи з великими об’ємами статистичних даних.

Умовно відзначимо два рівні використання "Star Office Spreadsheets":

1. використання вмонтованих у "Star Office Spreadsheets" спеціальних функцій по статистиці;

2. використання вмонтованого у "Star Office Spreadsheets" пакету "STAT".

У "Star Office Spreadsheets" існує 78 функцій для проведення статистичних розрахунків. Щоб познайомитися з набором цих функцій, необхідно у вікні “"Star Office Spreadsheets" вибрати в меню опцію “Вставка”, а в меню, що з’явилося, вибрати опцію “Функція”. Далі у вікні меню, яке з’явилося, вибрати опцію “Статистичні”.

Основні статистичні функції електронних таблиць Star Office Spreadsheet

1. AVERAGE(число1;число2; ...) – повертає середнє вибіркове значення для вказаного варіаційного ряду, при цьому

(число1, число2,...) — від 1 до 30 числових аргументів, що відповідають вибірці з генеральної сукупності. Замість аргументів, розділених крапкою з комою, можна також використовувати масив або посилання на масив, наприклад A1:A10.

2. VAR(число1;число2; ...) – оцінює дисперсію по вибірці, при цьому використовується формула

3. STDEV(число1;число2; ...) – повертає середнє квадратичне відхилення вибірки

4. MAX(число1;число2; ...) – повертає найбільше значення вибірки

5. MIN(число1;число2; ...) – повертає найменше значення вибірки

6. MEDIAN(число1;число2; ...) – визначає медіану вибірки

7. MODE(число1;число2; ...) – визначає моду вибірки

8. DEVSQ(число1;число2; ...) – обчислює суму квадратів відхилень значень вибірки від середнього вибіркового значення .

9. CONFIDENCE(;STDEV;n) – функція обчислення довірчих границь, при цьому

 - рівень значущості (=1-, де  - довірча ймовірність);

STDEV - середнє квадратичне відхилення вибірки;

n – об’єм вибірки.

10. ТТЕSТ(массив1;массив2;значення;тип) - повертає вірогідність, відповідну критерію Стьюдента, використовується, щоб визначити, наскільки вірогідно, що дві вибірки узяті з генеральних сукупностей, мають одне і те ж середнє вибіркове значення, при цьому

массив1 — перша вибірка.

массив2 — друга вибірка.

значення — число розподілу, яке дорівнює 1, коли функція ТТЕСТ використовує односторонній розподіл, і дорівнює 2, коли функція ТТЕСТ використовує двосторонній розподіл.

Тип — вид виконуваного t-тесту.

1 - парний двовибірковий t-тест для середніх значень (розраховує t-критерій Стьюдента для середніх значень двох вибірок без припущення про дисперсії. Використовується, коли є природна парність спостережень у вибірках, наприклад, генеральна сукупність тестується двічі)

2 - двовибірковий t-тест для рівних дисперсій. (розраховує t-критерій Стьюдента для середніх значень двох вибірок при рівних дисперсіях)

3 - Двовибірковий t-тест для нерівних дисперсій (розраховує t-критерій Стьюдента для середніх значень двох вибірок при нерівних дисперсіях).

Завдання:

1. Сформуйте таблицю значень випадкової величини (кількість вуглекислоти СО₂ в альвеолярному повітрі) в електронних таблицях Spreadsheet (рис 4).

2. Використовуючи вбудовані функції обчисліть

• кількість елементів вибірки

• середнє вибіркове значення;

• дисперсію вибірки;

• середнє квадратичне відхилення вибірки;

• найбільше значення вибірки;

• найменше значення вибірки;

• медіану вибірки;

• моду вибірки.

Рис.4. Результати спостережень.

3. Визначте довірчий інтервал для вказаних на рис.4 довірчих ймовірностей:

• використовуючи функцію CONFIDENCE обчисліть довірчі границі _x;

• визначте мінімальне значення довірчого інтервалу

• визначте максимальне значення довірчого інтервалу

4. У таблиці наведено дані двох незалежних вибірок розміру пухлини карциноми Герена на четвертий день захворювання і отриманих внаслідок дослідження впливу магнітними полями низької частоти на новоутворення

Номер досліду		1	2	3	4	5	6	7	8
Номер вибірки	1	0,027	0,036	0,1	0,12	0,32	0,45	0,049	0,105
	2	0,075	0,4	0,08	0,105	0,075	0,12	0,06	0,075

Визначте, наскільки ймовірно, що дві вибірки взяті з генеральних сукупностей, мають одне і те ж середнє вибіркове значення, використовуючи функцію ТТEST.

5. Вага 3-х місячних немовлят, які народилися у різних містах, підпорядкована нормальному закону із середнім вибірковим значенням 5 кг і середньоквадратичним відхиленням 0.1. Знайти ймовірність того, що навмання взяте немовля цього ж віку:

а) важить менше 4.8 кг;

б) важить більше 5.1 кг;

в) вага немовляти є у межах від 4.8 до 5.1 кг.

У випадку нормального розподілу випадкової величини використовуємо функцію NORMDIST(number, mean, STDEV, c),

де number – значення, для якого будується розподіл;

mean – середнє вибіркове значення розподілу m;

STDEV – середньоквадратичне відхилення σ;

c – логічне значення,

c=0, якщо розглядається щільність розподілу

,

с=1, якщо розглядається функція розподілу

За умовою задачі “середнє вибіркове значення” - m=5 і “середньоквадратичне відхилення” - σ=0.1. Будуємо таблицю (рис. 5).

Рис. 5

Далі розглядаємо такі випадки:

а) для підрахунку ймовірності Р(X<4.8) події, що навмання взяте немовля важить менше 4.8 кг, використаємо функцію NORMDIST(4.8; 5; 0.1; 1). Для цього активізуємо комірку В3. Вибираємо команди: “INSERT”(«Вставка»), “FUNCTION”(Функція»), “STATISTICAL”(Статистичний») і NORMDIST. У вікні меню функції NORMDIST, що з’явилося, набираємо параметри задачі. Результат Р(X<4.8)=0.02275 можна прочитати у меню функції. Після натиснення клавіші ”ОК” він автоматично заноситься у комірку В3

б) Для підрахунку ймовірності Р(X>5.1) події, що навмання взяте немовля важить більше 5.1 кг, використаємо співвідношення: Р(X>5.1)=1 - Р(X<5.1).

Для цього активізуємо комірку С3. Далі набираємо функцію

=1 - NORMDIST(5.1; 5; 0.1; 1).

Після натиснення клавіші “Enter”, результат Р(X>5.1)=0.158655 автоматично заноситься у комірку С3.

в) Для підрахунку ймовірності Р(4.8<X<5.1) події, що вага навмання взятого немовляти є у межах від 4.8 до 5.1 кг, використаємо співвідношення:

Р(4.8<X<5.1) =Р(X<5.1) - Р(X<4.8).

Для цього активізуємо комірку D3. Потім набираємо функцію

= NORMDIST(5.1; 5; 0.1; 1) – NORMDIST(4.8; 5; 0.1; 1).

Після натиснення клавіші “Enter”, результат Р(4.8<X<5.1) =0.8186 автоматично заноситься у комірку D3.

5. Використовуючи функцію BINOMDIST(x; trials; sp; c),

де “x” – кількість успішних випробувань m;

“trials” – число незалежних випробувань n;

“sp” – ймовірність успіху кожного випробування p;

“c” – логічне значення, що визначає форму функції:

c=0, якщо (ймовірність події, яка полягає в тому, що, в серії з n випробувань отримаємо рівно m успіхів),

с=1, якщо (ймовірність події, яка полягає в тому, що в серії з n випробувань отримаємо не більше m успіхів)

Після багаторічних спостережень виявилося, що ймовірність зараження обстежуваних пацієнтів у стоматолога вірусом гепатиту складає 0.4. Припустимо, що в певний день випадковим чином відібрано 25 пацієнтів, визначити ймовірність таких подій:

а) вірусом гепатиту будуть заражені рівно 10 пацієнтів;

б) не більше 10 пацієнтів;

в) не менше 10 пацієнтів;

г) від 10 до 15 пацієнтів.

Рекомендована література

1. В.Ю. Урбах. Статистический анализ в биологических и медицинских исследованиях. - М.: Высшая школа, 1975.

2. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1980.

3. Г.Ф. Лакин. Биометрия.-М.: Высшая школа, 1990.

4. А. Гончаров. Microsoft Excel 97 в примерах. - С.-Пб.: Питер, 1997.

5. О.І. Конділенко, М.І. Міщенко. Похибки вимірювань фізичних величин: Методичні рекомендації до лабораторного практикуму з курсу загальної фізики. - Житомир: ЖІТІ, 2000.-46 с.

6. Гихман Й.И., Скороход А.В., Ядренко М.Й. Курс теории вероятностей и математической статистики. – К.: Вища школа, 1979. – 407с.

7. Нейман Ю. Вводный курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Наука, 1980. – 448 с.

19