- •Міністерство охорони здоров'я України
- •Методичні рекомендації
- •Теоретичний матеріал
- •Випадкові величини та їх розподіл
- •Числові характеристики випадкових величин
- •Закони розподілу дискретних випадкових величин
- •Розподіл Пуассона
- •Закони розподілу неперервних випадкових величин Нормальний закон розподілу (Гаусса)
- •Розподіл
- •Розподіл Ст’юдента (Госсета)
- •Елементи вибіркової теорії.
- •Довірчі інтервали
- •Перевірка статистичних гіпотез
- •Критерії бувають однобічні і двосторонні
- •Комп’ютерне розв’язування задач
Закони розподілу дискретних випадкових величин
Біноміальний розподіл (розподіл Бернуллі)
Цей розподіл застосовують в ситуаціях, коли цікавляться частотою деякої події в серії незалежних випробувань. Подія може відбутися або ні
Дискретна випадкова величина X називається розподіленою за біноміальним законом, якщо вона може приймати тільки цілі невід’ємні значення з ймовірностями
де р – ймовірність появи події в кожному випробуванні,
q=1–p - ймовірність того, що подія не відбулася,
m – кількість сприятливих подій,
п – загальна кількість випробувань,
- біноміальний коефіцієнт. (Це ймовірність того, що n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p, ця подія наступить рівно m разів).
Математичне сподівання при біноміальному розподілі дорівнює MX=nр,
а дисперсія – =npq.
Наприклад: У лабораторії проводять експерименти з дослідження вірусів. 2-м щурам ввели вірус В1, 3-м – вірус В2 і 5-ти – вірус В3. Ймовірність зараження вірусом В1 дорівнює 0.1, вірусом В2 – 0.3 і вірусом В3 – 0.5. Навмання взятий щур виявився зараженим. Який вірус найімовірніше йому вводили?
Усього маємо n=10 щурів. Навмання взятий щур виявиться зараженим вірусом В1 з ймовірністю:
вірусом В2
вірусом В3
Отже, найймовірніше, що навмання взятий щур виявиться зараженим вірусом В2.
Розподіл Пуассона
Дискретна випадкова величина Х, називається розподіленою за законом Пуассона з математичним сподіванням і дисперсією , якщо вона приймає цілі невід’ємні значення з ймовірностями
.
λ – параметр розподілу Пуассона.
Тут розглядаються ймовірність того, що рідкісна подія, яка нас цікавить, відбудеться m разів під час довгої серії n незалежних випробувань.
Оцінити значення можна за формулою
=np,
де n – кількість фактично проведених спостережень,
p – ймовірність появи рідкісної події в одному спостереженні.
Розподіл Пуассона може розглядатися як граничний випадок біноміального розподілу. Розподіл Пуассона інколи називають розподілом рідкісних подій.
Наприклад: Вакцина формує імунітет від деякого захворювання з ймовірністю 0,999. Провакциновано 4000 мешканців міста. Яка ймовірність того, що двоє з них не набули імунітету.
-
ймовірність того, що імунітет не сформовано – р=1-0,999=0,001
-
-
.
Закони розподілу неперервних випадкових величин Нормальний закон розподілу (Гаусса)
У біології та медицині найчастіше розглядають випадкові величині, які мають нормальний закон розподілу, наприклад, частота дихання, частота серцевих скорочень, динаміка росту популяції тощо.
Нормальний розподіл використовуються для опису реальних явищ, у яких:
-
присутня сильна тенденція даних групуватися навколо центру,
-
додатні та від'ємні відхилення від центру рівноймовірні,
-
частота відхилень швидко спадає, коли відхилення від центру стають великими.
Для нормального закону розподілу щільність розподілу задається рівнянням:
де m – математичне сподівання, а – середнє квадратичне відхилення.
Середнє квадратичне відхилення характеризує розсіювання випадкової величини.
Стандартним нормальним розподілом N(0,1) називають розподіл з нульовим математичним сподіванням m=0 і одиничною дисперсією =1, щільність розподілу якого має наступний вигляд:
Графік функції щільності нормального розподілу називають нормальною кривою або кривою Гаусса (рис. 2). Якщо m=0 і σ=1, то ця функція називається функцією Лапласа.
Рис. 2
Функція щільності нормально розподіленої випадкової величини
Правило трьох сигм. Якщо закон розподілу випадкової величини X невідомий, але
тоді можна припустити, що випадкова величина X розподілена нормально.